浙江省严州中学高三年级第一次模拟考试

高三数学卷（文）

命题人：沈利英 校做人：魏六八

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）

1、已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3、函数
的单调递增区间为（ ）

A．
B．
C．
D．

4、已知
，
是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题正确的是（ ）

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．若
，
，则
D．若
，
，则

5、为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象（ ）

A．向右平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向左平移
个单位

6、已知函数
，若存在非零实数
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7、已知实数
，
满足
，若
的最大值为
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8、已知
、
分别是双曲线

（
，
）的左、右焦点，且
是抛物线

（
）的焦点，双曲线
与抛物线
的一个公共点是
．若线段
的中垂线恰好经过焦点
，则双曲线
的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题4分，共36分．）

9、已知全集为
，集合
，
，则
；
；
．

10、若函数
，则
的最小正周期为 ；
．

11、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ；表面积为 ．

12、如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，则异面直线
与
所成角的大小为 ；直线
与平面
所成角的正弦值为 ．

13、已知两圆

与

，动圆
与这两个圆都内切，则动圆的圆心
的轨迹方程为 ．

14、在
中，
，
，
，
是边
上的动点（含
，
两个端点）．若
（
，
），则
的取值范围是 ．

15、若函数
的定义域和值域都是
，则实数
．

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16、（本小题满分15分）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
．

求角
；

求
的取值范围．

17．（本题满分15分）如图，在四面休ABCD中，

已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，

(Ⅰ) 求证：AC⊥BD；

(Ⅱ)若平面ABD⊥平面CBD，且BD=
，

求二面角C－AD－B的余弦值。

18、（本小题满分15分）已知二次函数
（
，
）．

若
，且不等式
对
恒成立，求函数
的解析式；

若
，且函数
在
上有两个零点，求
的取值范围．

19、（本小题满分15分）设数列
的前
项和记为
，对任意正整数
满足
．

求数列
的通项公式；

设
，记数列
的前
项和为
，若不等式
对任意正整数
恒成立，求实数
的取值范围．

20、（本小题满分14分）已知抛物线

和直线

，直线
与
轴的交点为
，过点
的直线交抛物线
于
，
两点，与直线
交于点
．

记
的面积为
，求
的取值范围；

设
，
，求
的值．

高三数学卷（文）参考答案

选择题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

A

C

C

D

B

D

B



二、填空题(本大题共7小题，第9—12题，每题6分，第13—15题每题4分，共36分．)

9、
，
，
10、
,

11、
，
12、
,

13、
14、
15、

三、解答题（本大题共5小题，共74分）

16．解：（Ⅰ）由
得
， ………………………………2分

化简得：
即
，

所以
． ………………………………5分

故
． ………………………………7分

（Ⅱ）
………………………………8分

=
， ………………………………9分

=
， ……………………………………11分

=
， …………………………13分

由
可知
，

所以
， ……………………………………14分

故
．

故
．

所以
． ………………………15分

17．（本题满分15分）

（I）证明（方法一）：∵
，
，
．

∴
． ∴
．………………2分

取
的中点
，连结
，则
，
．

………………………………………………………………3分

又∵
， ……………………………………4分

平面
，
平面
，

∴
平面
， ……………………………………5分

∴
………………………………………………6分

（方法二）：过
作
⊥
于点
．连接
．…1分

∵
，
，
．

∴
．∴
⊥
．…………………3分

又∵
，……………………………………4分

平面
，
平面
，

∴
⊥平面
．……………………………………5分

又∵
平面
，

∴
．……………………………………………6分

（方法三）：
………………2分

………………………………3分

………4分

，……………………5分

∴
．……………………………………………6分

（II）解：

过
作
⊥
于点
．则
平面
，

又∵平面
⊥平面
，平面

平面

，

∴
⊥平面
． ……………………………………8分

过
做
⊥
于点
，连接
． ………………9分

∵
⊥平面
，∴
⊥
，又
，

∴
⊥平面
，∴
⊥
．…………………10分

∴
为二面角
的平面角． …………11分

连接
．∵
，∴
⊥
．

∵
，
，

∴
，
．∵
，∴
． ………12分

∴
∴
．…………………………13分

∴
，…………………………………………14分

∴
．

∴二面角
的余弦值为
．…………15分

18．解：(Ⅰ)因为
，所以
， …………………………………3分

因为当
，

都有
，所以有
， ………………………6分

即
，所以
； ………………………………7分

(Ⅱ)解法1：因为
在
上有两个零点，且
，

所以有

………………………………………11分

（图正确，答案错误，扣2分）

通过线性规划可得
. ……………………………………………15分

（若答案为
，则扣1分）

解法2：设
的两个零点分别
，所以
，……9分

不妨设
，
， … ………………………11分

因为
，且
，
， …………13分

所以
，所以
. …………………………………15分

（若答案为
，则扣1分）

19. 解：（Ⅰ）当
时，
，解得：
……………………………2分

当
时，

两式相减得：
，即
，………………………………5分

所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，所以
；……7分

（Ⅱ）
, …………………………………9分

不等式等价于
，令

，……10分

则



，

…………………………………12分

所以，当
时，
；当
时，
；

即
的最大值为
； …………………14分

所以，
. …………………15分

20. 解：(Ⅰ)显然直线
斜率
存在，且
,

设直线
方程
，…………………1分

设
，
，

联立方程
得
,

得
， …………………………………………………3分

所以
…………………………………………4分

……………………………………………………………………5分

所以
………………………………………………………6分

……………………………………………………………………………7分

另解：(Ⅰ) 显然直线
斜率
存在，且
，设直线
方程
，………1分

设
，
，联立方程
得
,

得
，…………………………3分

………………………………………4分

点
到直线
距离为
………………………………………5分

所以
……………………………………………………………6分

………………………………………………………………………………7分

(Ⅱ) 设
,………………………………………………………………8分

则由(Ⅰ)可知
，
，…………………………9分

所以
，…………………………………………………………………10分

同理
，……………………………………………………11分

又
………………………………………12分

故
………………………………………13分

因此
的值为
.…………………………………………………………………14分

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