2016届安徽省太和中学高三第一次联考

理数试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合
，则
（ ）

B.
C.
D.

2.在复平面内复数
对应的点在第一象限，则实数
的取值可以为（ ）

A.0 B.1 C.-1 D.2

3.设命题
“任意
”，则非
为（ ）

存在
B.存在

C.任意
D。任意

4.设点
是双曲线
上的一点，
分别是双曲线的左、右焦点，已知
，且
，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）

B.
C.
D.

5.若点
在函数
的图像上，则
=（ ）

A.2 B.4 C.6 D.8

6.已知
，若
，则
=（ ）

A.3 B.2 C.1 D.-1

7.设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（ ）

A.2 B.-4 C.-1 D.4

8.某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）

A.10 B.15 C.20 D.30

9.给出一个程序框图，则输出
的值是

A.39 B.41 C.43 D.45

10.已知直角梯形
，沿
折叠成三棱锥
，当三棱锥
体积最大时，其外接球的表面积为（ ）

B.
C.
D.

11.若
的一个对称中心为
，则
的值所在区间可以是（ ）

B.
C.
D.

12.已知定义在
上的奇函数
，其导函数为
，对任意正实数
满足
，若
，则不等式
的解集是（ ）

B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。

13.已知向量
，则
。

14.已知圆的方程为
。若过点
的直线
与此圆交于
两点，圆心为
，则当
最小时，直线
的方程为 。

15.将4为大学生分配到
三个工厂参加实习活动，其中
工厂只能安排1为大学生，其余工厂至少安排1位大学生，且甲同学不能分配到
工厂，则不同的分配方案种数是 。

16.在
中，若
，则
的面积取最大值的边长等于 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分,。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

已知数列
是等差数列，且
。

⑴求
的通项公式

⑵若
，求数列
的前
项和
。

18.（本小题满分12分）

已知函数
。

⑴求
的最小正周期

⑵若将
的图像向右平移
个单位，得到函数
的图像，求函数
的单调递增区间。

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥
中，
平面
，
为
的中点，
分别为线段
上的动点，且
。

⑴求证：
面
；

⑵若
是
的中点，
是线段
靠近
的一个三等分点，求二面角
的余弦值。

20.（本小题满分12分）

网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物。

⑴求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；

⑵用
分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，集
，求随机变量
的分布列与数学期望
。

21.（本小题满分12分）

已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，离心率为
，它的一个焦点恰好是抛物线
的焦点。

⑴求椭圆
的方程；

⑵设
为椭圆
的一条不垂直于
轴的弦，且过点
。过
作关于
的对称点
，证明：直线
过
轴的一个定点。

22.（本小题满分12分）

已知函数
，其中
为正实数。

⑴当
时，求
在
上的零点个数。

⑵对于定义域内的任意
，将
的最大值记作
，求
的表达式。

2016届安徽省太和中学高三第一次联考

理数参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.C 【解析】因为
，
，所以
.

2.A 【解析】
，因为复数在第一象限，所以

，解得
，故选A.

3.B 【解析】全称命题的否定，要把量词任意改为存在，且否定结论，故非
为：存在
，
.

4. C 【解析】 根据题意，三角形F1F2P是以F1F2为斜边的直角三角形，设|F2P|=m，|F1P|=2m，则由双曲线定义可得m=2a，所以
，即
，则
，故一条渐近线方程是
.

5.D 【解析】由题意知
，所以
，故选D.

6.A 【解析】二项式
的通项公式为
，其中
，所以
，解得
.

7.B 【解析】可行域为
及其内部，三个顶点分别为
，当
过点
时取得最小值，此时
．

8. C 【解析】由三视图的俯视图、正视图和侧视图可还原的空间几何体一个四棱锥M-ABCD，如图所示，由勾股定理计算CD=5，即知底面是边长为5的正方形ABCD，补形为三棱柱，则所求的几何体的体积：
×3×4×5-
=20.

9.C 【解析】由流程图可知，
，只要
，就再一次进入循环体循环，直到首次出现
，才跳出循环体，输出
，程序结束.由
得
，所以
.

10.D 【解析】如图，
，所以
，即
.取AC的中点为E，AB的中点为O，连接DE,OE,OC，因为三棱锥

体积最大，所以平面DCA
平面ABC，此时容易计算出OD=2，即OD=OB=OA=OC=2，故O是外接球的球心，OA是球的半径，于是三棱锥
外接球的表面积是
.

11.B 【解析】
，其中

，且
，因为
一个对称中心为