安徽省南陵中学2016届高三第一次模拟考试

数学（文）试卷

考试时间：120分钟；满分150分；命题人：秦朝斌

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）



1．设
为虚数单位，则复数
对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2.平面向量
的夹角为
等于（ ）

A.
B.
C.12 D.

3.已知lga+lgb=0，函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.已知命题p：对于
，恒有
成立，命题q：奇函数
的图象必过原点.则下列结论正确的是（ ）

A.
为真 B.
为真 C.
为真 D.
为真

5. 已知实数
，
满足
则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的左（侧）视图的面积是（ ）

A． 2
B．
C． 4 D． 2

7.已知
为不同的直线
为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）

A.
B.

C.
D.

8. 已知正实数
满足
，且使
取得最小值.若曲线
过点
的值为（ ）

A.
B.
C.2 D.3

9.已知
，方程
内有且只有一个根
在区间
内根的个数为（ ）

A.2014 B.2013 C.1007 D.1006

10. 点A是抛物线
与双曲线

的一条 渐近线的交点，若点A到抛物线
的准线的距离为p，则双曲线
的离心率等于（ ）

A.
B.

C.
D.

11. 执行如图所示的程序框图，若输入k的值为2，则输出的i值为（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

12. 已知函数
处取得极大值，在
处取得极小值，满足
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）



13.已知直线
与曲线
切于点
，则
的值为 .

14.设F1和F2是双曲线
﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是　_________　．

15. 某班有学生55人，现将所有学生按1，2，3，…，55随机编号.若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为
号学生在样本中，则
_______.

16.已知幂函数f(x)的图象经过点
，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f(x1)＞x2f(x2)；②x1f(x1)＜x2f(x2)；③
；④
.其中正确结论的序号是__________．

三、解答题（本题共6道小题,共70分）



17.（10分）济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）.若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下 （不包括175cm）定义为“帅精灵”.已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm.

（I）求
的值；

（II）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人.求至少有一人为“高精灵”的概率.

18.在△ABC中，a、b、c为角A、B、C所对的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．

（Ⅰ）求角A的值；

（Ⅱ）若
，
，求c的长．

19.（本小题满分12分）（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A=AB=6，D为AC中点．

（Ⅰ）求三棱锥C1﹣BCD的体积；

（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；

（Ⅲ）求证：直线AB1∥平面BC1D．

20.（本小题满分12分）

已知等差数列
满足，
.数列
的前n和为
，且满足
.

（I）求数列
和
的通项公式；

（II）数列
满足
，求数列
的前n和
.

21. （本小题满分12分）已知椭圆
上任意一点到两焦点
距离之和为
，离心率为
．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线
的斜率为
，直线
与椭圆C交于
两点．点
为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．

22.已知函数
，若
在点
处的切线方程为
．

（1）求
的解析式；

（2）求
在
上的单调区间和最值；

（3）若存在实数
，函数
在
上为单调减函数，求实数
的取值范围．

试卷答案

1.A 2.B 3.C

考点： 对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 由lga+lgb=0，则得到lgab=0，即ab=1，然后根据指数函数和对数函数的性质即可判断函数的图象．

解答： 解；解：∵lga+lgb=0，

∴lgab=0，即ab=1，b=

∵函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx

∴函数f（x）=ax与函数g（x）=logax，

a＞1，f（x）与g（x）都是单调递增，

0＜a＜1，f（x）与g（x）都是单调递减，

∴f（x）与g（x）单调相同，

故选：C

点评： 本题主要考查指数函数和对数函数的图象的判断，利用对数的运算法则确定ab=1是解决本题的关键，根据函数单调性的对应关系解决本题即可．

4.C5.A6. B

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题；空间位置关系与距离．

分析： 由题意可知左视图与主视图形状完全一样是正三角形，可得结论．

解答： 解：由题意可知左视图与主视图形状完全一样是正三角形，

因为主（正）视图是边长为2的正三角形，

所以几何体的左（侧）视图的面积S=
=

故选：B．

点评： 本题考查由三视图求面积、体积，求解的关键是根据所给的三视图判断出几何体的几何特征．

7.D8.B 9.A10.C11.C 12.B

13.3 14. 1 15.56 16.②③　

17. 解（Ⅰ）由题意得：

-------------------2分

-------------------4分

解得：
-------------------5分

（Ⅱ）由题意知“高精灵”有8人，“帅精灵”有12人. 如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则抽取的“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为：

和
-------------------6分

记抽取的“高精灵”为
，抽取的“帅精灵”为
.

从已抽取的5人中任选两人的所有可能为：

,

共10种. -------------------8分

设“选取的两人中至少有一人为“高精灵””为事件
，则事件
包括

，

，共7种. -------------------10分

所以

因此，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，,则至少有一人为“高精灵”的概率为
.-------------------12分

18.解：（Ⅰ）b2+c2﹣a2=bc，
∵0＜A＜π∴

（Ⅱ）在△ABC中，
，
，

∴

由正弦定理知：
，

∴
═
．∴b=

19. 考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

专题： 综合题．

分析： （Ⅰ）先根据△ABC为正三角形，D为AC中点，得到BD⊥AC，求出△BCD的面积；再根据C1C⊥底面ABC即可求出三棱锥C1﹣BCD的体积；

（Ⅱ）先根据A1A⊥底面ABC，得到A1A⊥BD，再结合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC1A1．即可证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；

（Ⅲ）连接B1C交BC1于O，连接OD，根据D为AC中点，O为B1C中点可得OD∥AB1，即可证：直线AB1∥平面BC1D．

解答： （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵△ABC为正三角形，D为AC中点，

∴BD⊥AC，

由AB=6可知，
，

∴
．

又∵A1A⊥底面ABC，且A1A=AB=6，

∴C1C⊥底面ABC，且C1C=6，

∴
． …（4分）

（Ⅱ）∵A1A⊥底面ABC，

∴A1A⊥BD．

又BD⊥AC，

∴BD⊥平面ACC1A1．

又BD?平面BC1D，

∴平面BC1D⊥平面ACC1A1． …（8分）

（Ⅲ）连接B1C交BC1于O，连接OD，

在△B1AC中，D为AC中点，O为B1C中点，

所以OD∥AB1，

又OD?平面BC1D，

∴直线AB1∥平面BC1D． …（12分）

点评： 本题主要考查平面与平面垂直的判定以及直线与平面平行的判定和棱锥体积的计算．在证明线面平行时，一般常用做法是证明面面平行或证明线线平行．

20.

(I)设等差数列
的公差为
，则
，得
，---------------------2分

，得
，
.-----------------3分

当
时，
，得
，

，两式相减得
，又
，

所以数列
是首项为2，公比为2的等比数列，
，

数列
和
的通项公式分别是
.---------------------------6分

（II）
,------------------------------7分

，

，

所以
，---------------------8分

------------------------11分

所以
.--------------------------12分

21.解析：（1）由条件得：
，解得
，所以椭圆的方程为

（2）设
的方程为
，点

由
消去
得
．

令
，解得
，由韦达定理得
．

则由弦长公式得
．

又点P到直线
的距离
，

∴
，

当且仅当
，即
时取得最大值．∴△PAB面积的最大值为2．

22解：

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