北京八中北海分校2016届高三第一次月考试题

理科数学 2015年9月

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1．已知集合
，
，
，则
（ ）

A．0或3 B．0或
C．1或
D．1或3　

2．设复数
满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．在二项式
的展开式中，
项的系数为（ ）

A．12 B．4 C．6 D．8

4．下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是（ ）

A.
B.
C.
D.

5．已知
是定义在R上的奇函数，当
时，
，则
值为（ ）

A.3 B.
C.
D.

6．实数
的大小

关系正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

7．若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是
,则输入的

的值为

A.
B.
C.
D.

8．若
，则向量
与
的夹角为（　　）

A．
B.
C.
D.

9．函数
的一个零点所在区间为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知
，
满足约束条件
，若
的最小值为
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

11．等差数列
前项和为
，已知
，则

A．27 B．36 C．45 D．54

12．一个几何体的三视图如右图所示，则这个

几何体的体积是（ ）

A．1 B．2

C．3 D．4

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13．已知函数
，则
________

14．已知
，
，则

15．三棱锥A－BCD的侧棱两两相等且相互垂直，若外接球的表面积
，则侧棱的长＝__________

16．若函数
在其定义域内的一个子区间
内不是单调函数，则实数
的取值范围是

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

17．在
ABC中，
分别是角
的对边，已知
，
.

(Ⅰ)若
，求角C的大小；（Ⅱ）若
，求边
的长

18．已知正项数列
满足
，且

（1）求正项数列
的通项公式；（2）求和

19．某班同学利用暑假在A、B两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查及宣传活动．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则，称为“非低碳族”．各小区中，这两“族”人数分别与本小区总人数的比值如下表：

（Ⅰ）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是“低碳族”的概率；

（Ⅱ）经过大力宣传后的连续两周，A小区“非低碳族”中，每周有20％的人加入到“低碳族”的行列．这两周后，如果从A小区中随机地选出25个人，用ξ表示这25个人中的“低碳族”人数，求数学期望E(ξ)．

20．如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝4，∠BCE＝60°．

（Ⅰ）证明：平面BAE⊥平面DAE；

（Ⅱ）设线段AB的中点为P，求直线PE与平面DCE所成的角

21．已知函数
　

(Ⅰ) 求函数
的单调递减区间；

(Ⅱ)若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围

选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22. 选修4—1：(本小题满分10分)几何证明选讲

如图,在，
中，
为钝角，点E、H分别是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的点，且AH=AC，EB=BC， AE=AK，BH=BM.

(I)求证：E、H、M、K四点共圆(II )若KE=EH，CE=3，求线段KM的长.

23选修4－4：(本小题满分10分) 坐标系与参数方程

平面直角坐标系中，直线
的参数方程是
（
为参数），以坐标原点为极点，

轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为

．

（Ⅰ）求直线
的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线
与曲线
相交于
、B两点，求

24. 选修4－5：(本小题满分10分)不等式选讲

已知实数
满足
，求
的最大值.

2016届高三第一次月考

理科数学答题卷

题号

一

二

三

总分









17

18

19

20

21

选





得分























一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案





























二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、 14、

15、 16、

三、解答题：（本大题共6小题，共70分）

17．（本小题满分10分）

18.（本小题满分12分）

19．（本小题满分12分）

20．（本小题满分12分）

21．（本小题满分12分）

选做题（本小题满分12分），您选择的是第（ ）题

2016届高三第一次月考理科数学参考答案与评分细则

一、选择题：每小题5分，满分60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

D

C

D

C

B

B

A

B

D

D



二、填空题：每小题5分，满分20分

13、
14、
15、
16、

三、解答题（满分70分）

17解：（I）由正弦定理
，得
，解得
…………2分

由于
为三角形内角，
，则
， ………………4分

所以
， . . . ………………………6分

（II）依题意，
，即
，整理得
.………9分

又
，所以
. ………………………12分

另解：由于
,所以
，解得
, ……………8分

由于
，所以
， . . . . ………………………10分

由
，所以
.

由勾股定理
，解得
. . ………………………12分

18解：由
可变形为：
∴
┄┄┄┄┄┄┄┄3分

∵
，∴数列
是首项为2，公差为1的等差数列.

，∴
┄┄┄┄┄┄┄┄6分

（2）

┄┄┄┄┄┄┄┄12分

19解：（Ⅰ）记“这4人中恰有2人为低碳族”为事件A

（Ⅱ）设A小区的总人数为 a，过两周后，A小区中的“非低碳族”人数与本小区的

故数学期望E(ξ)为17 …………………………………12分

20 解：（Ⅰ）证明：分别取BE、AE的中点G、F，连DF，FG，CG，则CG
BE

由已知AEB⊥平面BCE，∴CG⊥平面AEB

易证

∴CDFG是矩形，∴CG∥DF

∴FD⊥平面ABE．又DF
平面ADE

从而平面ABE⊥平面ADE．┄┄┄┄┄┄6分

(Ⅱ)设P到平面DCE的距离为
，则
等于B到平面DCE的距离

过B作BH
CE，则BH⊥平面DCE，
，又
，

设PE与平面DCE所成的角为
，则

∴PE与平面DCE所成的角为
┄┄┄┄┄┄12分

21解：（?）函数
的定义域为
，

当
时，
，函数
的单调递减区间为

(Ⅱ)由
得

，
，

记
，则
，令
得

当
时，
；当
时，

∴
的最小值为
，于是

所以实数
的取值范围是

选做题

22. 证明：⑴连接
，
，

四边形
为等腰梯形，注意到等腰梯形的对角互补，

故
四点共圆，----------- 3分

同理
四点共圆，

即
均在点
所确定的圆上，证毕．---------------