吉林省五校高考高端命题研究协作体

2015－2016学年第一次联合命题数学（理科）试题

一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.）

1.已知集合
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2.复数z＝，则（ ）

A.|z|＝2 B.z的实部为1 C.z的虚部为－i D.z的共轭复数为－1＋i

3.下列判断错误的是（ ）

A．“
”是“a < b”的充分不必要条件

B．命题“
”的否定是“
”

C．“若a=1，则直线
和直线
互相垂直”的逆否命题

D．若
为假命题，则p，q均为假命题

4.已知f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的表达式为(　　)

A．f(x)＝2sin(x＋) B．f(x)＝2sin(x＋)

C．f(x)＝2sin(x＋) D．f(x)＝2sin(x＋π)

5.若x、y满足不等式
，则z=3x+y的最大值为（ ）

A. 11 B.
C. 13 D.

6.若函数
与函数
在
上的单调性相同，则
的一个值为( )

A．
B．
C．
D．

7.过点
可作圆
的两条切线，则实数
的取值范围为（ ）

A．
或
B．

C．
或
　 D．
或

8.在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是(　　)

A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

9.已知函数
是定义在
上的奇函数，且满足
，当
时，
，

则函数
的零点是（ ）

A．
B．

C．
D．

10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A. B. C. D.

11.已知双曲线
与函数
的图象交于点
. 若函数
在点
处的切线过双曲线左焦点
，则双曲线的离心率是（ ）

A.
B.
C.
D.

12.若存在实常数
和
，使得函数
和
对其公共定义域上的任意实数
都满足：
和
恒成立，则称此直线
为
和
的“隔离直线”，已知函数
，有下列命题：

①
在
内单调递增；

②
和
之间存在“隔离直线”，且
的最小值为
；

③
和
之间存在“隔离直线”，且
的取值范围是
；

④
和
之间存在唯一的“隔离直线”
.

其中真命题的个数有( )

A.
个 B.
个 C.
个 D.
个

二. 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填写在横线上）

13.执行如图所示的程序框图，输出的T= ．

14.若loga(a2＋1)

15.已知函数
，若数列
满足

（
），且
是递增数列，则实数
的取

值范围是 ___________．

16.同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的

底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为
、
，则
的值是 ．

三.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．(本小题满分12分)

已知
的三个角
的对边分别为
，且
成等差数列，且
．数列
是等比数列，且首项
，公比为
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
.

18.（本小题满分12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元。距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成
，

，
，
，
五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：

（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款。现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为
户，求
的分布列和数学期望；

（III）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95℅以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

30







捐款不超

过500元



6





合计











P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



附：临界值表参考公式：
，
．

19.（本小题满分12分）如图所示，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.

（Ⅰ）求证：AB∥平面MCD；

（Ⅱ）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．

20．（本小题满分12分）已知抛物线
的焦点为
，过点F作直线l交抛物线C于A,B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率
．

（Ⅰ）分别求抛物线C和椭圆E的方程；

（Ⅱ）经过A,B两点分别作抛物线C的切线
，切线
与
相交于点M．证明

21.（本小题满分12分）已知函数
．．

（Ⅰ）若
，求函数
的最大值；

（Ⅱ）令
，讨论函数
的单调区间；

（Ⅲ）若
，正实数
满足
，证明
．

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．

（Ⅰ）求证：DE∥AB；

（Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2．

（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcos(θ＋)＝的距离的最大值．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－1|．

（Ⅰ）解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；

（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|f()．

命题人：李大博、王玉梅、李明月

吉林省五校高考高端命题研究协作体

2015－2016学年第一次联合命题数学（理科）答案

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

D

B

A

D

D

D

D

C

A

C



二．填空题

13. 29 14. 

15.
16.

三．解答题

17.解：（Ⅰ）
成等差数列,


………………6分

（Ⅱ）
………………8分

； 2

………………12分

18.解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为
元，则：

………………………2分

（Ⅱ）由频率分布直方图可得，损失超过4000元的居民共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户，损失超过8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，因此，

的可能取值为0，1，2

,
,

0

1

2














的分布列为

………………………7分

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

30

9

39



捐款不超

过500元

5

6

11



合计

35

15

50



（Ⅲ）如图：

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

30







捐款不超

过500元



6





合计











经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

30







捐款不超

过500元



6





合计











经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

30







捐款不超

过500元



6





合计











经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

30







捐款不超

过500元



6





合计











经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

30







捐款不超

过500元



6





合计











经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

30







捐款不超

过500元



6





合计











经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

30







捐款不超

过500元



6





合计











经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

30







捐款不超

过500元



6





合计











，

所以有95℅以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元

有关．………………………12分

19.解:（Ⅰ）证明：取CD中点O，因为△MCD为正三角形，所以MO⊥CD.

由于平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.又因为AB⊥平面BCD，

所以AB∥MO.又AB?平面MCD，MO?平面MCD，所以AB∥平面MCD. ………………6分

（Ⅱ）连接OB，则OB⊥CD，又MO⊥平面BCD.

取O为原点，直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示．

OB＝OM＝，则各点坐标分别为C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)．

＝(－1,0，)，＝(－1，－，2)．

设平面ACM的法向量为n1＝(x，y，z)，

由得

解得x＝z，y＝z，取z＝1，得n1＝(，1,1)．又平面BCD的法向量为n2＝(0,0,1)，

所以cos〈n1，n2〉＝＝.设所求二面角为