冷曦中学2016届开学第一考

数学试题

考试时间：2015年8月9日 8.00-10.30 试卷满分：150分

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．A、B、C、D分别是复数
，
在复平面内对应的点,O是原点,若
,则ΔCOD一定是

A.等腰三角形?????? B.?等边三角形???????

C.?直角三角形??????? D.等腰直角三角形

2．（5分）下列集合中，是空集的是（）

?A．{x|x2+3=3}????? B．{（x，y）|y=﹣x2，x，y∈R}

? C．{x|﹣x2≥0}??? D．{x|x2﹣x+1=0，x∈R}

3．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（）

A． ﹣4 B． ﹣3 C． ﹣2 D． ﹣1

4．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l参数方程为
（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，则直线l被曲线C截得的弦长为（）

A．
B．
C．
D．

5．（5分）数列{an}满足a1=1，an+1=r?an+r（n∈N*，r∈R且r≠0），则“r=1”是“数列{an}成等差数列”的（）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）

A．
B．
C． 4 D． ﹣1

7．（5分）过双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若
=

，则双曲线的离心率是（）

A．
B．
C．
D．

8．（5分）已知函数
有且仅有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）

A． 5 B．
C． 3 D．

9．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组
确定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（1，﹣1），且z=
的最小值为﹣1，则实数a=（）

A． 7 B． 5 C． 4 D． 3

（5分）对于定义在区间M上的函数f（x），若满足对?x1，x2∈M且x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为区间M上的“非减函数”，若f（x）为区间上的“非减函数”，且f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1；又当x∈时，f（x）≤2x﹣1恒成立．有下列命题：

①?x∈，f（x）≥0；②当x1，x2∈且x1≠x2时，f（x1）≠f（x2）；③f（
）+f（
）+f（
）+f（
）=2；④当x∈时，f（f（x））≤f（x）．

其中正确命题有（）

A． ②③ B． ①②③ C． ①②④ D． ①③④

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11．（5分）在区间上随机取一个数x，使得|x|﹣|x﹣1|≥1成立的概率为．

12．（5分）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同．若m=6，则在第7组中抽取的号码是

13．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为．

14．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足
=ax，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
+
=
，若有穷数列{
}（n∈N?）的前n项和等于
，则n=．

15．（5分）已知△ABC中，AB边上的中线|CM|=2，若动点P满足
=sin2θ
+cos2θ
（θ∈R），给出下列命题：①对?θ∈R，?λ∈R，使得
=λ
；②当θ∈（﹣
，
）时，存在唯一的θ，使
=
（
+
）；③动点P在运动的过程中，（
+
）?
的取值范围为；④若|
|=2，动点P在运动的过程中，|
|2+|
|2+|
|2的最小值为
．以上命题中，其中正确命题的序号为．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（12分）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足f（
+
π）=
，cosC+（cosA﹣
sinA）cosB=0，a=2
，求△ABC的面积．

17．（12分）某高校自主招生考试依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核．规定只有前一轮考核通过才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该校的自主招生考试．学生甲参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为
，
，
，各轮考核通过与否相互独立．学生乙参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为
，
，
，且各轮考核通过与否相互独立，甲乙两人通过该校的自主招生考试与否互不影响．

（Ⅰ）求甲乙恰有一人通过该高校自主招生考试的概率；

（Ⅱ）甲所在中学为鼓励学生参加自主招生考试，每通过一轮分别奖励学生100元，200元，300元，记学生甲获得奖励的金额为X，求X的分布列及数学期望．

18．（12分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足an2=Sn+Sn﹣1（n≥2），a1=1．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=
，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对任意n∈N?，都有Tn＜
恒成立．

19．（13分）如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置．

（Ⅰ）如图2，当A1C⊥CD时，求证：A1C⊥平面BCDE；

（Ⅱ）如图3，设平面A1CD与平面A1BE所成锐二面角为θ，当tanθ=
时，求点C到平面A1BE的距离．

20．（13分）如图，已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且过点（
，
）．

（Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）若A，B，C为椭圆上的三点（A，B不在坐标轴上），满足
=
+
，直线OA，OB分别交直线l：x=3于M，N两点，设直线OA，OB的斜率为k1，k2．证明：k1?k2为定值，并求线段MN长度的最小值．

21．（13分）已知函数f（x）=
（x＞﹣1）．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；

（Ⅱ）求证：（
）n+（
）n+…+（
）n+（
）n＜
（n∈N?）

福建省冷曦中学2016届开学第一考

数学试题（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．．A、B、C、D分别是复数
，
在复平面内对应的点,O是原点,若
,则ΔCOD一定是

A.等腰三角形?????? B.?等边三角形???????

C.?直角三角形??????? D.等腰直角三角形

答案：C

2．

（5分）下列集合中，是空集的是（）

?A．??{x|x2+3=3}?????B．????{（x，y）|y=﹣x2，x，y∈R}

?C．{x|﹣x2≥0}???D．??????{x|x2﹣x+1=0，x∈R}

【答案解析】

D

考点：??????????????空集的定义、性质及运算．

专题：??????????????计算题．

分析：??????????????不含任何元素的集合称为空集，对于A，集合中含有0，对于B，集合中含有无数个点，对于C，集合中含0，是非空的，对于D，方程无解，则集合中不含有元素．

解答：??????????????对于A，集合中含有0，故错；

对于B，集合中含有无数个点，故也错．

对于C，集合中含0，是非空的，故错；

对于D，所对应的方程无解，集合中不含有元素，故正确；

故选D．

点评：??????????????本题主要考查空集的概念，空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．空集的性质：空集是一切集合的子集．

3．（5分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（）

A． ﹣4 B． ﹣3 C． ﹣2 D． ﹣1

考点： 二项式系数的性质．

专题： 概率与统计．

分析： 由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中x2的系数为
+a?
=5，由此解得a的值．

解答： 解：已知（1+ax）（1+x）5=（1+ax）（1+
x+
x2+
x3+
x4+
x5）

展开式中x2的系数为
+a?
=5，解得a=﹣1，

故选：D．

点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

4．（5分）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l参数方程为
（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，则直线l被曲线C截得的弦长为（）

A．
B．
C．
D．

考点： 参数方程化成普通方程．

专题： 直线与圆；坐标系和参数方程．

分析： 把直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程都化为普通方程，利用圆心到直线l的距离d与半径r求出弦长|AB|的值．

解答： 解：把直线l的参数方程
（t为参数）化为普通方程是

x+y﹣3=0，

把曲线C的极坐标方程ρ=4sinθ变形为

ρ2=4ρsinθ，

化为普通方程是x2+y2=4y，

即x2+（y﹣2）2=4，

它表示圆心为（0，2），半径r=2的圆；

则圆心到直线l的距离为

d=
=
，

所以，直线l被曲线C截得的弦长为

|AB|=2
=2
=
．

故选：B．

点评： 本题考查了直线的参数方程与圆的极坐标方程的应用问题，解题时可以化为普通方程进行解答，是基础题目．

5．（5分）数列{an}满足a1=1，an+1=r?an+r（n∈N*，r∈R且r≠0），则“r=1”是“数列{an}成等差数列”的（）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题： 阅读型．

分析： 把r=1代入给出的递推式，直接判断出数列{an}是等差数列，再由给出的递推式，当r≠1时，配方后得到
，说明数列{
}是等比数列，求出其通项公式后可得an，由an看出，当r=
时数列{an}为等差数列，从而说明“r=1”是“数列{an}成等差数列”的不必要条件．

解答： 解：当r=1时，等式an+1=r?an+r化为an+1=an+1，即an+1﹣an=1（n∈N*）．

所以，数列{an}是首项a1=1，公差为1的等差数列；

“r=1”是“数列{an}成等差数列”的充分条件；

当r不等于1时，

由
，得：
，

所以，数列{
}是首项为
，公比为r的等比数列

所以，
，

．

当r=
时，an=1．{an}是首项为1，公差为0的等差数列．

因此，“r=1”不是“数列{an}成等差数列”的必要条件．

综上可知，“r=1”是“数列{an}成等差数列”的充分但不必要条件．

故选A．

点评： 本题考查了必要条件、充分条件及充要条件，解答的关键是判断必要性，也是该题的难点，考查了由递推式求数列的通项公式，对于an+1=pan+q型的递推式，一般都可转化成一个新的等比数列．此题是中档题．

6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）

A．
B．
C． 4 D． ﹣1

考点： 程序框图．

专题： 图表型．

分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值并输出．

解答： 解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：

是否继续循环 S i

循环前/4 1

第一圈 是﹣1 2

第二圈 是
3

第三圈 是
4

第四圈 是4 5

第五圈 否

故最后输出的S值为4．

故选C．

点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．

7．（5分）过双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若
=

，则双曲线的离心率是（）

A．
B．
C．
D．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出
和
，进而根据
=

求得a和b的关系，进而根据c2﹣a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得．

解答： 解：直线l：y=﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（
，
），

l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（
，
），A（a，0），

∴
=（﹣
，
），
=（
，﹣
），∵
=

，

∴
=
，b=2a，

∴c2﹣a2=4a2，

∴e2=
=5，∴e=
，

故选C．

点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．

8．（5分）已知函数
有且仅有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）

A． 5 B．
C． 3 D．

考点： 函数与方程的综合运用．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 根据函数f（x）的对称性可知
=k有解时总会有2个根，进而根据方程有且仅有3个实数根可知必含有1这个根，进而根据f（x）=1解得x，代入x12+x22+x32答案可得．

解答： 解：∵方程有3个实数根，
=k有解时总会有2个根，

所以必含有1这个根

令
=1，

解得x=2或x=0

所以x12+x22+x32═02+12+22=5．

故选A

点评： 本题主要考查了函数与方程的综合运用．利用了函数图象的对称性和方程根的分布，考查了学生分析问题的能力．

9．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组
确定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（1，﹣1），且z=
的最小值为﹣1，则实数a=（）

A． 7 B． 5 C． 4 D． 3

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用向量数量积的定义将目标函数进行化简，结合z的几何意义进行求解即可．

解答： 解：∵且
的最小值为﹣1，

∴x﹣y的最小值为﹣1，

设z=x﹣y，

作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，

∵x﹣y的最小值为﹣1，

∴作出直线x﹣y=﹣1，

则直线x﹣y=﹣1与y=2x﹣1相交于A，此时A为一个边界点，

由
，解得
，即A（2，3），

此时A也在直线x+y=a上，

则a=2+3=5，即直线为x+y=5，

平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点A时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，此时zmin=2﹣3=﹣1，

满足条件．

故a=5，

故选：B．

点评： 本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义以及向量数量积将目标函数进行化简是解决本题的关键．，注意利用数形结合来解决．

10．（5分）对于定义在区间M上的函数f（x），若满足对?x1，x2∈M且x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为区间M上的“非减函数”，若f（x）为区间上的“非减函数”，且f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1；又当x∈时，f（x）≤2x﹣1恒成立．有下列命题：①?x∈，f（x）≥0；②当x1，x2∈且x1≠x2时，f（x1）≠f（x2）；③f（
）+f（
）+f（
）+f（
）=2；④当x∈时，f（f（x））≤f（x）．

其中正确命题有（）

A． ②③ B． ①②③ C． ①②④ D． ①③④

考点： 命题的真假判断与应用．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 对于①，由f（0）=0，然后直接利用“非减函数”的定义进行判断；

对于②，由x∈时，f（x）≤2x﹣1恒成立得到f（
）≤
，在等式f（x）+f（l﹣x）=l中，取x=
得到f（
）=
，而
＞
，从而说明f（
）≥
．利用两边夹的思想得到f（
）=
．同理得到f（
）=
．结合新定义即可得到结论；

对于③，结合②的结论及等式f（x）+f（l﹣x）=l变形即可得到；

对于④，当x∈时，判断f（x）与x的大小关系即可．正确．

解答： 解：对于①，因为f（0）=0，所以对?x∈，根据“非减函数”的定义知f（x）≥0．所以①正确；

对于②，因为当x∈时，f（x）≤2x﹣1恒成立，

∴f（
）≤
，

又f（x）+f（l﹣x）=l，所以f（
）=
，

由而
＞
，由“非减函数”的定义可知，所以f（
）≥
．

所以f（
）=
．

同理有f（
）=
．

当x∈时，由“非减函数”的定义可知，f（
）≤f（x）≤f（
），所以f（x）=
．所以②不正确；

由②中，当x∈时，f（x）=
．可得：

所以③正确；f（
）=f（
）=
，由f（x）+f（1﹣x）=1得：f（
）+f（
）=1，

故f（
）+f（
）+f（
）+f（
）=2，故③正确；

对于④，当x∈时，x≥2x﹣1，因为函数f（x）为区间D上的“非减函数”，

所以f（x）≥f（2x﹣1），

所以f（f（x））≤f（2x﹣1）≤f（x）．所以④正确．

故正确命题有：①③④．

故选：D

点评： 本题考查了命题的真假判断与运用，考查了抽象函数的性质，解答的关键是正确理解新定义，考查了学生的抽象思维能力，是中档题．

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11．（5分）在区间上随机取一个数x，使得|x|﹣|x﹣1|≥1成立的概率为
．

考点： 几何概型．

专题： 概率与统计．

分析： 由题意，本题符合几何概型，分别求出已知区间的长度，以及满足不等式的区间长度，利用长度比得到所求．

解答： 解：区间的长度为4，

不等式|x|﹣|x﹣1|≥1等价于
①，
②，
③，

解①得x≥1；解②得?；解③得?，

所以不等式的解集为：{x|x≥1}，

所以在区间上随机取一个数x，使得|x|﹣|x﹣1|≥1成立的概率为：
；

故答案为：
．

点评： 本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型

12．（5分）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同．若m=6，则在第7组中抽取的号码是

63．

考点： 系统抽样方法．

专题： 压轴题．

分析： 此问题总体中个体的个数较多，因此采用系统抽样．按题目中要求的规则抽取即可，在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同，由m=6，k=7得到要抽数字的个位数．

解答： 解：∵m=6，k=7，m+k=13，

∴在第7小组中抽取的号码是63．

故答案为：63．

点评： 当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样．要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本．

13．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为
．

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 空间位置关系与距离．

分析： 由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，分别求出体积后，相减可得答案．

解答： 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，

棱柱和棱锥的底面均为侧视图，

故底面面积S=
×4×4=8，

棱柱的高为8，故体积为64，

棱锥的高为4，故体积为：
，

故组合体的体积V=64﹣
=
，

故答案为：

点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

14．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足
=ax，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
+
=
，若有穷数列{
}（n∈N?）的前n项和等于
，则n=6．

考点： 数列的求和．

专题： 导数的综合应用；等差数列与等比数列．

分析： 由
列出方程求出a的值，根据求导法则求出
，结合条件判断出导数的符号，即可确定函数的单调性，由指数函数的单调性确定a的值，代入
由条件和等比数列的前n项和公式求出n的值．

解答： 解：因为
=ax，且
，

所以a+
，化简得2a2﹣5a+2=0，解得a=
或2，

因为f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），

所以
=
＜0，

则
在定义域上单调递减，故a=
，

所以
=
，则有穷数列{
}（n∈N?）是以
为首项、公比的等比数列，

因为有穷数列{
}（n∈N?）的前n项和等于
，

所以
，解得n=6，

故答案为：6．

点评： 本题考查了等比数列的定义、前n项和公式，以及函数的导数与函数单调性关系，属于中档题．

15．（5分）已知△ABC中，AB边上的中线|CM|=2，若动点P满足
=sin2θ
+cos2θ
（θ∈R），给出下列命题：①对?θ∈R，?λ∈R，使得
=λ
；②当θ∈（﹣
，
）时，存在唯一的θ，使
=
（
+
）；③动点P在运动的过程中，（
+
）?
的取值范围为；④若|
|=2，动点P在运动的过程中，|
|2+|
|2+|
|2的最小值为
．以上命题中，其中正确命题的序号为①③．

考点： 命题的真假判断与应用；平面向量数量积的运算．

专题： 平面向量及应用；简易逻辑．

分析： 由给出的等式结合共线向量基本定理可得C、P、M共线，由此判断①正确；

由给出的向量等式可知P为△ABC的重心，求出
，结合θ范围可得满足条件的θ有两个，判断②错误；

由
，得（
+
）?
=
=2|
||
|cosπ=﹣2|
||
|，然后利用基本