吉林省五校高考高端命题研究协作体

2015－2016学年第一次联合命题数学（文科）试题

一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.）

1.已知集合
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2.复数z＝，则（ ）

A.|z|＝2 B.z的实部为1 C.z的虚部为－i D.z的共轭复数为－1＋i

3.下列判断错误的是（ ）

A．“
”是“a < b”的充分不必要条件

B．命题“
”的否定是“
”

C．“若a=1，则直线
和直线
互相垂直”的逆否命题

D．若
为假命题，则p，q均为假命题

4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn， a1＋a3＝，且a2＋a4＝，则＝( )

A.4n－1 B.4n－1 C.2n－1 D.2n－1

5.函数
（e是自然对数的底数）的部分图象大致是( )

（第6题图）

6.从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图．根据茎叶图，下列描述正确的是(　　)

A．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐

B．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐

C．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐

D．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐

7.若x、y满足不等式
，则z=3x+y的最大值为（ ）

A. 11 B.
C. 13 D.

8.执行如图所示的程序框图，输出的T=（ ）

A．29 B．44

C．52 D．62

9.在三棱锥
中，已知
，
平面
,
. ?若其直观图、正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )

A.
B.
C.
D.

10.若函数
与函数
在
上的单调性相同，

则
的一个值为( )

A．
B．
C．
D．

11.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆：
都相切，则双曲线C的离心率是( )

A.
或
B.2或
C.
或2 D.
或

12.给出下列命题 ⑴
；⑵函数
有5个零点；⑶函数
的图像以
为对称中心;⑷已知
函数
的图像过点
，则
的最小值是
.其中正确命题的个数是( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二. 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填写在横线上）

13.已知向量
，
，若
，则
的值是 ．

14.2015年8月6日凌晨，马来西亚总理纳吉布在吉隆坡确认，7月29日在法属留尼汪岛发现的飞机残骸来自515天前失联的马航MH370。若一架侦察机以500米/秒的速度在留尼汪岛上空平行于地面匀速飞行时，发现飞机残骸在侦察机前方且俯角为
的地面上，半分钟后，侦察机发现飞机残骸仍在其前方且俯角为
的地面上，则侦察机的飞行高度是 米（保留根号）

15.四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，侧棱长都等于4，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_________．

16.已知正项数列{
}的前n项和为
，对
∈N﹡有
＝
．令
，设{
}的前n项和为
，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为_____________．

三.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．(本小题满分12分) 设
是锐角三角形，三个内角
所对的边分别记为
，并且
.

（Ⅰ）求角
的值；

（Ⅱ）若
，求
（其中
）．

18.（本小题满分12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元。距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成
，
，
，
，
五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：

（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款。现从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这两户在同一分组的概率；

（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95℅以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

30







捐款不超

过500元



6





合计











P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



附：临界值表参考公式：
，
．

19.（本小题满分12分）如图，四棱锥
中，
是正三角形，四边形
是矩形，且面
面
,
,
.

(Ⅰ) 若点
是
的中点，求证：
面
；

(Ⅱ) 若点
在线段
上，且
,求三棱锥
的体积.

20．（本小题满分12分）已知函数
（
且
）．

（Ⅰ）若
，求实数
的值；并求此时
在
上的最小值；

（Ⅱ）若函数
不存在零点，求实数a的取值范围．

21.（本小题满分12分）已知椭圆
的离心率
，它的一个顶点在抛物线
的准线上．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
，
是椭圆
上两点，已知

且
，求
的取值范围；

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．

（Ⅰ）求证：DE∥AB；

（Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C1的极坐标方程为
，直线
的极坐标方程为
。

（Ⅰ）写出曲线
与直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线
距离的最小值。．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－1|．

（Ⅰ）解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；

（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|f()．

命题人：李大博、王玉梅、李明月

吉林省五校高考高端命题研究协作体

2015－2016学年第一次联合命题数学（文科）答案

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

D

D

C

D

A

A

D

D

C

B



二．填空题

13. -3 14. 3750（1+
）

15.
16. 9

三．解答题

17.解：（Ⅰ）由已知得：

即
,
……………………… 6分

（Ⅱ）

由余弦定理得：

，又
，
………………………12分

18.解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为
元，则：

………………………2分

（Ⅱ）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6户，

损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，

损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，

因此，这两户在同一分组的概率为
………………………7分

（Ⅲ）如图：

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计



捐款超过

500元

30

9

39



捐款不超

过500元

5

6

11



合计

35

15

50





，

所以有95℅以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元

有关．………………………12分

19.解: （Ⅰ）连接AC，设
,
。

在
中，
//
，又
平面

………… 6分

(Ⅱ)

,

所以
…………………12分

20.解：（Ⅰ）由
得．
．

易知
在
上单调递减，在
上
单调递增；

当
时，
在
的最小值为2 …………………4分

（Ⅱ）
，由于
．

①当
时，
是增函数，且当
时，
．

当
时，取
，则
，

所以函数
存在零点，不满足题意．…………………8分

②当
时，