西安市第八十三中学2015届高三年级第二次模拟考试数学（理）试题

命题人：唐颖鸿 审题人：韦如成

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。）

1.已知集合
，集合
，那么
（ ）

A.
B.
C．
D．

2. 已知＝(cos40(，sin40()，＝(cos80(，-sin80()，则·=（ ）

A. 1 B.  C．-  D．

3.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是 边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）

A.
B.
C
D

4.已知
是等差数列
的前n项和，若
， 则
等于（ ）

A. 18 B. 36 C 72 D无法确定

5．圆
关于直线
对称的圆的方程为（ ）

A．
B．

C．
D．

6．已知抛物线
的焦点与双曲线
的一个焦点重合，则该双曲线

的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设等比数列
的前项和为
，若
，
，则
（ ）

A．17 B．33 C．-31 D．-3

8. P是
所在平面内一点，若
，其中
，则P点一定在（ ）

A.
内部 B. AC边所在直线上

C. AB边所在直线上 D. BC边所在直线上

9．定义运算
为执行如图所示的程序框图输出的s值，则
的值为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．―1

10．在
中，已知
，

那么
一定是（ ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形

11. 两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两

辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是（ ）

A. 40 B. 48 C. 60 D. 68

12. 已知函数
，若方程
有且只有两个不相等

的实数根，则实数的取值范围是（ ）

A.(－∞，1) B.(0,1) 　C.(－∞，1] D.[0，＋∞)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．）

13．在
的展开式中，
项的系数是　　　　.

（用数字作答）

14．在平面直角坐标系
上的区域由不等式组
给定。若
为上的动点，点
的坐标为
，则
的最小值为 .

15．把边长为
的正方形
沿对角线
折成一个直二面角
，则四面体
的外接球的体积为 .

16．观察下列等式

,
,
,

照此规律，第个等式可为 .

三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分）

已知角
是
的三个内角，
是各角的对边，

若向量
,
,且
.

（1）求
的值；

（2）求
的最大值.

18．（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱
的各棱长都是4，是
的中点，动点在线段
上，且不与点
、
重合．

（1）若
，求平面
与平面
的夹角的余值；

（2）求点到直线
距离
的最小值.

19．（本小题满分12分）

已知在等比数列
中，
，且
是
和
的等差中项．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
，求
的前项和
．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线

的焦点重合．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知经过定点M（2,0）且斜率不为0的直线
交椭圆C于A、B两点，

试问在x轴上是否另存在一个定点P使得
始终平分
？若存在,

求出点坐标；若不存在,请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数
，其中为实数，

（1）若
，求函数
的最小值；

（2）若方程
在
上有实数解，求的取值范围；

（3）设

…，
均为正数，且
，，

求证：
.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．

22.（本小题满分10分）

如图,⊙
的直径
的延长线与弦
的延长 线相交于点,为⊙
上一点,AE＝AC ,
交
于点,且
,

（1）求
的长度;

（2）若圆F且与圆
内切，直线PT与圆F切于点T，

求线段PT的长度.

23. (本小题满分10分)

在直角坐标系xOy?中，曲线C1的参数方程为
（为参数）

M是C1上的动点，P点满足
,P点的轨迹为曲线C2.

(1)求C2的方程;

(2)在以O为极点，x?轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求
.

24.(本小题满分10分)

已知函数

（1）解关于的不等式
；

（2）若函数
的图象恒在函数
图象的上方，求的取值范围.

西安市第八十三中学

2015届高三年级第二次模拟考试数学（理）参考答案

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分.）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

C

B

D

C

B

B

A

B

B

A



11. 解析：B. 只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达.若奥迪车上没有小孩，则有
=10种；若有一个小孩，则有
=28种；若有两个小孩，则有
=10种.故不同的乘车方法种数为10+28+10=48种.

12.【解析】函数

的图象如图所示，当a＜1时，函数y=f（x）的图象

与函数y=x+a的图象有两个交点，即方程f（x）=x+a

有且只有两个不相等的实数根。答案：A

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应的位置上.）

13．120 14．

15．
16．

三．解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）

解：（1）由
,
，且
，

即
.

∴
,即
,

∴
.-

（2）由余弦定理得
，

而∵

,

即
有最小值
。

又
,∴
有最大值
（当且仅当
时取等号），

所以
的最大值为
.。

18. （本小题共12分）

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得：

于是

设平面
的法向量为
，

则
即
，取

取平面
的法向量为
，

设平面
与平面
的夹角为
，则
.

（2）设
,

当
时，
.

19．解：（1）设公比为q，则
，
，∵
是
和
的等差中项，∴
，∴

（2）

则

20．【解】：（1）∵椭圆的短轴长为４，∴
，

又抛物线
的焦点为
，∴
，

则
，∴所求椭圆方程为：
．

（2）设
：
，代入椭圆方程整理得：

则
，假设存在定点
使得
始终平分
，

则

，∴对于
恒成立，∴
，故存在定点的坐标为
．

21．解：（1）
，由
得

当
在
内递增；

当
时，
内递减；

故函数
处取得最小值

（2）

①当
时，

在
内递增；

，方程
在
上无实数解；

②当
时，

在
内递减；

，方程
在
上无实数解；

③当
时，由
得
，

当
递减；当
时，
递增；

又
，
.由
得

故的取值范围为

（3）由（1）知，
，从而

，
，得
，

求和得

即
故

22.（本小题满分10分）

解：（1）连结
,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系

结合题中条件弧长
等于弧长
可得

,

又
,
,

从而
,故
∽
,

∴
,

由割线定理知
,故
.

（2）若圆F与圆
内切，设圆F的半径为r，因为
即

所以
是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT

则
，即

23. (本小题满分10分)

解：（1）设P(x,y),则由条件知M(
).由于M点在C1上，所以

即

从而
的参数方程为
（为参数）

（2）曲线
的极坐标方程为
，曲线
的极坐标方程为
。

射线
与
的交点的极径为
，

射线
与
的交点的极径为
。

所以
.

24. 解：（1）不等式
，即
。

当
时，不等式的解集是
；

当
时，不等式的解集为；

当
时，即
，即
或者