二〇一五届高三定时训练

数学理科试题参考答案及评分标准 2014.11

选择题（每小题5分,共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

C

B

C

A

C

B

D

D

A



填空题(每小题5分,共25分)

12．
13．

14．
15．

解答题(共75分)

(注意：答案仅提供一种解法，学生的其他正确解法应依据本评分标准，酌情赋分.)

16．解：（1）在△
中,由正弦定理得
,………………………2分

即
，又角为三角形内角，

所以
，即
， …………………………………4分

又因为
，所以
. …………………………………6分

（2）在△
中，由余弦定理得：

，则
……………………………8分

即
，解得
或
，……………………………10分

又
，所以
. ………………………………12分

解：由
对任意
恒成立，

得
在
上恒成立．

又函数

在
上是增函数，

所以其最小值为
，因此只要
即可，所以
．…………………3分

因为
在
上是增函数，
在
上也是增函数，且
，

所以
在上是增函数，由
可得
，

所以
或
. ……………………………………6分

若
为真，
为假，所以与一真一假 …………………………………7分

若真假，应有
所以
； …………………………………9分

若假真，应有
所以
； …………………………………11分

因此的范围是
且
. ……………………………………12分

18．解：（1）由已知得

＝
， ……………………………………3分

的最小正周期
. ……………………………………4分

令
,
，

可得
（
）,

则
的单调递增区间为
（
）.…………………………6分

（2）由
得
， ……………………………………7分

由
，可得
，

所以
， ………………………………9分

＝
. ……………………………………12分

19．解：（1）当
，
时，

,………………………………2分

当
，
时，

,…………………………………4分

所以
………………………6分

（2）当
，
时，

此时，当
时，
取得最大值
,……………………………8分

令
，
，

当
时，
，
为增函数；

当
时，
，
为减函数；

因此，当
，
时，
取得最大值
.…………………10分

因为
，所以年产量为
千件时，最大利润是
万元. ……………12分

解: (1) 由已知，对任意
，都有
，

所以
，又
，

则
是首项为3，公比为
的等比数列. ………………………………2分

所以
，
. ………………………………4分

(2)
, ………………6分

由
，化简得
对任意的
恒成立, ……………8分

设
，则
,……………………10分

当
，
，
为单调递减数列，

当
，
，
为单调递增数列,

又
，所以数列
的最大项为
, ………………………12分

所以，
时，
对任意
恒成立，

即不等式
对任意
恒成立. …………………………13分

解：（1）当
时，
其定义域为
，

则
，

令
得
；令
得
，

故
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.……………………3分

（2）法一：因为当
时，

所以函数
在区间
上不可能恒成立，

故要使函数
在区间
上无零点，只要对任意的
，
恒成立．

即对任意的
，
恒成立. ……………………………4分

令
,
，

则
, ……………………………5分

再令
，则
，

由
，知
，

故函数
在区间
上单调递减，

所以
，即
，

所以函数
在区间
上单调递增，则
，

故只要
，函数
在区间
上无零点，

所以的最小值为
. ……………………………9分

法二： 由
，

可得
，

令
则

1）当
时，即
时，
恒成立，
单调递减，

恒成立，又
在区间
上无零点，

则
又

所以
……………………………6分

2）当
时，即
时，

则存在
，使得
且
，

则当
时，
单调递减，

当
时，
单调递增，

所以，
的最小值为
，

令

则
恒成立，
在
上单调递增，

恒成立，即
的最小值小于零恒成立，

又当
时，

此时函数
在区间
一定存在零点，不合题意.

由1），2）可知
即的最小值为
. ………………………9分

（3）由
，当
，
，

则函数
在区间
上是增函数．所以
，

当
时，
，不符题意；

当
时，
，当
时，
，

由题意有
在
上不单调，故
，即
①，…………10分

当变化时，
变化情况如下：













0

+





单调递减

最小值

单调递增





又因为
时，
，

，…………………………12分

所以，对于给定的
，在
上总存在两个不同的
，

使得
成立，当且仅当满足下列条件

即
②，
③，

令
，
，令
，则
，

故
时，
，函数
单调递增；

时，
，函数
单调递减；

所以对任意的
，
. …………………………13分

由③得
④，由①④当
时，

在
上总存在两个不同的
，使得
成立.………………14分