严州中学2015届高三4月阶段测试数学(文科)试卷

试卷Ⅰ

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知
为正实数，则“
且
”是“
”的（ ▲ ）

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.

3．若
是互不相同的空间直线，
是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ▲ ）

A.
????? B.

C.
D.

4．将函数
的图像沿轴向右平移
后，得到的图像关于原点对称，则的

一个可能取值为（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.

5．若直线
被圆
所截得的弦长为6，则
的最小值为（ ▲ ）

A. B.
C.
D.

6．在
中，若
，
，
，则
（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.

7． 已知
，若函数
有三个或者四个零点，则函数

的零点个数为（ ▲ ）

A.或 B. C.或
D.
或或

8．设点
是曲线
上任意一点，其坐标
均满足
，则
取值范围为（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.

非选择题部分（共110分）

二、 填空题 ：本大题共7小题，第9，10每题三空，每空2分，第11，12题每题两空，每空3分，第13，14，15每空4分，共36分。

9．设全集
，集合
则
▲ ，

▲ ，
▲ ．

10．设函数
，则该函数的最小正周期

为 ▲ ，值域为 ▲ ，单调递增区间为 ▲ ．

11．某几何体的三视图（单位：
）如图所示，则该几何

体的体积为 ▲
，外接球的表面积为 ▲
．

12．设不等式组
所表示的平面区域为，则区域的面积为 ▲ ；若直线
与区域有公共点， 则的取值范围是 ▲ ．

13．
分别是双曲线
的左右焦点，为双曲线右支上的一点，
是

的内切圆，
与轴相切于点
，则的值为 ▲ ．

14．定义在
上的函数
,如果对于任意给定的等比数列
,

仍是等比数列,则称
为“等比函数”. 现有定义在
上的如下函数:①
；②
； ③
； ④
.则其中是“等比函数”的
的序号为 ▲ ．

15．在
中，
，点
在
边上，且满足
，则
的

最小值为 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题,满分74分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分15分）

在
中，角
所对的边分别为
，且满足
．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）当
取得最大值时，试判断
的形状．

17．（本小题满分15分）

已知数列
是首项为的等差数列，其前项和
满足
．数列
是以
为首项的等比数列，且
．

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
的前项和为
，若对任意

不等式

恒成立，求
的取值范围．

18．（本小题满分15分）

如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
平面
，点
分别为
的中点，且
，
，
．

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正切值．

19．（本小题满分15分）

如图，设抛物线
：
的焦点为，过点的直线
交抛物线
于
两点，且
，线段
的中点到轴的距离为
.

（Ⅰ）求抛物线
的方程；

（Ⅱ）若直线
与圆
切于点，与抛物线
切于点
,求
的面积.

20．（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）若
，且
在
上的最大值为
，求
；

（Ⅱ）若
，函数
在
上不单调，且它的图象与轴相切，求
的最小值.

数学（文科）参考答案

一、选择题：

BADDC BAD

二、填空题：

9．
10．

11．
；
12．
13．
14．②③ 15．

三、解答题：

16．解：（Ⅰ）由
结合正弦定理变形得:
3分

从而
,
, …………………………………6分

∵
,∴
； …………………………………………………7分

（Ⅱ）由(1)知
………………………………………………………8分

则

11分

∵
, ∴
………………………………12分

当
时,
取得最大值1, ………………13分

此时
,
, …………………………………………14分

故此时
为等腰三角形 . ……………………………………15分

17．解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，由题意得，?
，解得
，

∴
…………………………………………………………………4分

由
，从而公比
，

∴
…………………………………………………………………8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

∴
10分

又
，……………………………………………12分

∴对任意
，
等价于

…………………………………………………13分

∵
对

递增，

∴
， ………………………14分

∴
.即
的取值范围为
……………………15分

18．解：（Ⅰ）证明：取
中点，连结
，
．

为
中点，
，

又
为
中点，底面
为平行四边形，

．

，即
为平行四边形， ……………………4分

∴

平面
，且
平面
，

平面
． ……………………………………………7分

（其它证法酌情给分）

（Ⅱ）方法一：

平面
，
平面
，平面
平面
，

过
作
，则
平面
，连结
．

则
为直线
与平面
所成的角， ……………………10分

由
，
，
，得
，

由
，得
，

在
中，
，得
．

在
中，
，

,

直线
与平面
所成角的正切值为
． ……………………15分

方法二：

平面
，
，
，

又
，
，
，

，
． ……………………………9分

如图，分别以
为轴，轴，轴，

建立空间直角坐标系
，

则
，
，

，
，

，
，

，……………………11分

设平面
的一个法向量为
，则

由
，令
得
， ……13分

设
与平面
所成的角为
，则

，

与平面
所成角的正切值为
．………………………15分

19．解：（Ⅰ）设
，
，则
中点坐标为
，

由题意知
，
， ………………………3分

又
，
， ………………………6分

故抛物线
的方程为