扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高 三 数 学

第一部分

1．已知集合
，则
??? ．{2，4}

2．设复数满足
，则
＝____________．

3．命题“
”的否定是 ．

4．已知为第三象限角，且
，则
．

5．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是 ．

6．已知向量
，
，
.若向量与向量
共线，则实数
－1

7．锐角
中角
的对边分别是
，
,
的面积为
, 则
．

8．用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是 ．

9．已知等比数列
的前项和为
，若
，则
等于 ．1

10．若函数
的图象过点
，则该函数图象在点处的切线倾斜角等于 ．

析：∵函数
的图象经过点
，∴
，

∴
，
，
．

11．若直线
截半圆
所得的弦长为
，则
．

12．平面内四点
满足
，则
面积的最大值为 ．

13．已知椭圆E：
的右焦点为F，离心率为
，过原点O且倾斜角为
的直线
与椭

圆E相交于A、B两点，若△AFB的周长为
，则椭圆方程为 ．

析：由已知
，椭圆方程可化为：
，将
代入得
，

由椭圆对称性，△AFB的周长=
，可得
．

14．已知函数
，
， 若
，

则的取值范围是 ．

析：当
时，
，得
在
上是增函数，在
上是减函数，当
时有极大值
；

当
时，
恒成立，
是减函数，且
．

设
，由
得
，即
对
恒成立，
，

当
时，
，而
，不合题意；

当
时，
，∴
，得
．

15．如图，三棱锥
中，侧面
是等边三角形，
是
的中心．

⑴若
，求证
；

⑵若
上存在点，使
平面
，求
的值．

证⑴连
并延长交
于，连

因为
是等边
的中心，所以是
的中点，
……………2分

又因为
，
，
平面
，

所以
平面
， ……………5分

因为
平面
，所以
； ……………7分

⑵
平面
，所以
平面
，

因为
上存在点，所以
平面
，

所以
平面
， ……………9分

又
平面
，平面
平面
，

所以

， ……………12分

在
中，因为
，所以
． ……………14分

16．
的内角
满足
(单位向量
互相垂直)，且
．

⑴求
的值；

⑵若
，边长
，求边长．

解⑴因为
，

即
， ……………3分

所以
，

化简整理，得
，故
=
. ……………7分

(2)由(1)可知
为锐角．因为
，所以
，
，

，
……………12分

因为正弦定理
，所以
，所以边长
． ……………14分

17．一件要在展览馆展出的文物近似于圆柱形，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.6立方米．为保护文

物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2

倍．保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元．为防止文物发生意外，展览馆向保险公司

进行了投保，保险费用与保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元．

⑴若保护罩的底面边长为
米，求气体费用与保险费用的和；

⑵为使气体费用与保险费用的和最低，保护罩应如何设计？

解⑴
； ……………4分

⑵保护罩的底面边长为米，底面积为
平方米，体积为
立方米，总费用为元，则

=

，（
）……9分

，令
得
，

当
时
，递减；当
时
，递增∴当
时，有极小值即最小值．

答：为了使这两项总费用最低，保护罩的底面边长应设计为2米． ……………14分

18．已知椭圆
的左顶点为，右焦点为，右准线为，与轴相交于点，

且是
的中点．

⑴求椭圆的离心率；

⑵过点的直线与椭圆相交于
两点，
都在

轴上方，并且
在
之间，且
．

①记
的面积分别为
，求
；

②若原点
到直线
的距离为
，求椭圆方程．

解⑴因为是
的中点，所以
，即
，

又、
，所以
，所以
； ……………4分

⑵

①解法一：过
作直线的垂线，垂足分别为
，依题意，
，

又
，故
，故
是
的中点，∴

又是
中点，∴
，∴
； ……………8分

解法二：∵
，∴
，椭圆方程为
，
，

设
，
，点
在椭圆
上，即有
，

∴

同理
，

又
，故
得
是
的中点，∴
，

又是
中点，∴
，∴
； ……………8分

②解法一：设
，则椭圆方程为
，

由①知
是
的中点，不妨设
，则
，

又
都在椭圆上，即有

即

两式相减得：
，解得
， ……………10分

可得
，故直线
的斜率为
， ……………13分

直线
的方程为
，即

原点
到直线
的距离为
，

依题意
，解得
，

故椭圆方程为
． ……………16分

解法二：设
，则椭圆方程为
，

由①知
是
的中点，故
，

直线
的斜率显然存在，不妨设为，故其方程为
，与椭圆联立，并消去得：
，整理得：
，（*）

设
，
，依题意：

由

解得：

所以
，解之得：
，即
．

直线
的方程为
，即

原点
到直线
的距离为
，

依题意
，解得
，

故椭圆方程为
． ……………16分

19．设个正数

依次围成一个圆圈．其中

是公差为
的等差数列，而
是公比为的等比数列．

⑴若
，
，求数列
的所有项的和
；

⑵若
，
，求的最大值；

⑶是否存在正整数
，