2015诊断理科数学参考答案及评分标准

一、选择题

C B A D C C A D C D

二、填空题

11.
12. 5 13. 10 14.
15.

三、解答题

16.解：（1）由正弦定理可得
，

由余弦定理：
， …………………2分

因为
，所以
.

（2）由（1）可知，
， …………………4分

因为
，B为三角形的内角，所以
， …………………6分

故

…………………9分

由正弦定理
，

得
. …………………12分

17.解：（1）两小组的总人数之比为8:4=2:1，共抽取3人，所以理科组抽取2人，

文科组抽取1人， …………………2分

从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：一男一女、两女，

所以所求的概率为：
. …………………4分

(2)由题意可知
的所有可能取值为0,1,2,3， …………………5分

相应的概率分别是

,
，

,
,………………9分

所以
的分布列为：

0

1

2

3



P












.

18.解：

………………2分

∴

所以
………………4分

(2)由

所以
，
，
………………4分

所以
是等比数列且
，
………………6分

∴

∴
………………8分

∴
………………9分

∴

利用错位相减法，可以求得
. ………………12分

19.解：（1）∵平面
平面
，

平面
平面
，
，

∴
平面
, ………………2分

又∵
，故可建立空间直角坐标系
如图所示，

不妨设

,

则有
，

∴
，

∴
， ………………4分

∴
，

∴
平面
.

又
平面

∴平面
平面
………………6分

（2）由（1），平面
的一个法向量是
，
,

设直线
与平面
所成的角为
，

，解得
，

∵

∴
，即
………………8分

设平面
的一个法向量为
，
，

由
,

∴
，不妨令
，则
… ……………10分

∴
,

显然二面角
的平面角是锐角，

∴二面角
的余弦值为
. ……………12分

20.解：（1）由题意知
，

又
，所以
， ……………2分

，所以椭圆的方程为：
； ……………4分

（2）设直线
的方程为：
，代入
，得：

设
，线段
的中点为
，

则
， ……………7分

由
得：
，

所以直线
为直线
的垂直平分线，

直线
的方程为：
， ……………9分

令
得：点的横坐标
， ……………10分

因为
， 所以
，所以
. ……………12分

所以线段
上存在点

使得
，其中
. ……………13分

21.解（1）当
时，
，
，

， ……………2分

所以
，切线方程为
，即
……………4分

（2）由题意可知，函数
的定义域为，
， ……………6分

当
时，
，
，
为增函数，
，
，
为减函数；

当
时，
，
，
为减函数，
，
，
为增函数. ……………8分

（3）“对任意的
恒成立”等价于“当
时，对任意的
成立”，当
时，由（2）可知，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，而
，所以
的最小值为
，

，

当
时，
，

时，
，显然不满足
， ……………10分

当
时，令
得，
，

（i）当
，即
时，在
上
，所以
在
单调递增，所以
，只需
，得
，所以

(ii) 当
，即
时，在
，
单调递增，在
，
单调递减，所以
，

只需
，得
，所以

(iii) 当
，即
时，显然在
上
，
单调递增，
，
不成立， ……………13分

综上所述，的取值范围是
……………14分