高三数学（理）试题参考答案

一、选择题

B D B A D B D C D D

二、填空题

11.
12. 2∶1 13. ①②③ 14.
15. ①②③

三、解答题：

16. 解：（1）函数
，…2分

，
，得
；…4分

即
，由题意得
，

得
，

所以函数
的单调递增区间为
．…6分

（2）由题意得
，又由
得
，…9分

解得
， 即
，

，故所有根之和为
．……12分

17.（１）证明：正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点

为G，易知
，且
，

在多面体中，由
，知
，

故
…………………………………………2分

又

平面
，故
平面
，………………..5分

又
平面ABEF，所以平面ABEF平面BCDE．…………6分

（2）以G为坐标原点，分别以GC，GE，GA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的坐标系．

由
，
，
，

则

.

，
，
，
．..8分

设平面ABC的法向量为
，

则
，即
，令
，得
，

同理，可得平面DEF的一个法向量为
，………………….10分

所以
，

所以平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）的余弦值为
．……….12分

18. 解：（1）记事件
表示“第i次取到白球”（
），事件表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：

. ……2分

， ……………………………………4分

　，……………………………………………………5分

另解：记随机变量
表示连续取球四次，取得白球的次数. 易知
……2分

则
，..5分

（2）易知：随机变量X的取值分别为2，3，4，5 ……6分

，

，
， ……10分

∴随机变量X的分布列为：

X

2

3

4

5



P











……………………………………………………11分

∴随机变量X的期望为：
. …………12分

19. 解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，

a1＝2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n…………3分

（2）
，①
②

②－①得，
，得bn＋1＝2(3n＋1＋1)，

又当n=1时，b1=8，

所以bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．…………………………7分

（3）
＝n(3n＋1)＝n·3n＋n，…………………8分

∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)，

令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，① 则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②，

－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝
－n×3n＋1　　　

∴
， ……………………………………….10分

∴数列{cn}的前n项和．
. ……12分

20. 解:（1）由
得
,
,..1分

所以曲线y=
在点(1,
)处的切线斜率为
,

,曲线y=
切线方程为
；

即
. …………………………………………………………4分

（2）由
得
，令
,

,
,

所以
在(0,1]上单调递减,又当x趋向于0时，
趋向于正无穷大，故

即
； ……………………7分

（3）由
，得
, …………………..8分

令
, 所以
，

因此,对任意
,
等价于
，

由
,
.得

，

因此,当
时,
,
单调递增;
时,
,
单调递减

所以
的最大值为
,故
，…………10分

设
,

,所以
时
,
单调递增,
,

故
时,
,即
，……………………12分

所以
.

因此,对任意
,
恒成立．………………………13分

21. 解.（1）椭圆D；
的离心率为
，

, 解之得m=2，…………………………………………………………2分

所以椭圆的方程为；
; ………………………………………………….3分

（2）设
，则A, B的坐标满足方程组
,

把（2）式代入（1）式化简得；
，……….5分

所以
,

又因为
, 所以
,
,

所以
，即
,……………7分

解
, 得
,…………….(3)

把（3）式代入
，解之得

所以直线PA的方程为
；………………….9分

（3）由（2）知
，即
（或
），

因A与C关于原点对称，所以
（或
），

设过
三点的圆为
，

则
　　解之得
，

所以圆的方程为
，………………….10分

设过F2的直线EF为；
，则
，

原点O到直线EF的距离为
，

所以
，………………………12分

令
，则
，所以
，

所以
=
=
，

所以
．……………………………14分