高 三 数 学（理）

本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，检测时间120分钟．

第Ⅰ卷 （选择题，共50分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试卷上．

一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，复数
对应的点的坐标为

A.
B.
C.
D.

2．已知全集为，集合
，则

A.
B.

C.
D.

3．函数
与

图形的交点为
，则所在区间是

A．（0，1） B．（1，2 ） C．（2，3 ） D．（3，4）

4. 已知具有线性相关的两个变量
之间的一组数据如下：

0

1

2

3

4





2.2

4.3

4.5

4.8

6.7



 且回归方程是
的预测值为

A．8.4 B．8.3 C．8.2 D．8.1

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A. 48 B.

C.16 D. 32

6．将函数
的图象向右平移
个单位长度，

所得图象对应的函数

A．在区间
上单调递减 B．在区间
上单调递增

C．在区间
上单调递减 D．在区间
上单调递增

7. 函数
的图象大致是

8．下列说法正确的是

A．“
为真”是“
为真”的充分不必要条件

B．若数据
，…，
的方差为1，则
的方差为2

C．在区间
上随机取一个数，则事件“
”发生的概率为

D．已知随机变量
服从正态分布
，且
，则

9．从6名同学中选4人分别到A、B、C、D四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去D城市游览，则不同的选择方案共有

A．96种 B．144种 C．240种 D．300种

10.已知O为坐标原点，向量
.若平面区域D由所有满足
的点C组成，则能够把区域D的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是

A．
B.

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题；

2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用中性笔答在答题卡指定的位置上．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上．

11．设是圆
上的动点,
是直线
上的动点,则
的最小值为_______.

12．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是______.

13．正偶数列有一个有趣的现象：

①2+4=6； ②8+10 +12=14+16；

③18+20+22+24=26+28+30，…

按照这样的规律，则2016在第 个等式中．

14．设
,其中实数
满足
,若的最大值

为12,则实数
________.

15. 已知M是
的对称轴与准线的交点，点N是其焦点，点P在该抛物线上，且满足
取得最大值时，点P恰在以M、N为焦点的双曲线上，则该双曲线的实轴长为_______.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）在
中，内角
所对的边分别为
.

已知
，

（Ⅰ）求角
的大小； （Ⅱ）若
，求
的面积.

17．（本题满分12分）

甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250， C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：

若甲、乙都选C类车型的概率为
.

（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；

（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：

车型

A

B

C



补贴金额（万元/辆）

3

4

5



记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）

在如右图的几何体中，平面
为正方形，平面
为等腰梯形，
∥
，
，
，
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．

19.（本小题满分12分）

已知数列
是公差不为零的等差数列，
成等比数列.

（Ⅰ）求数列
的通项；

（Ⅱ）设
是等比数列，且
，求数列
的前项和
.

20．（本题满分13分）

已知椭圆
：
（
）的焦距为，且过点（，
），右焦点为
．设，是
上的两个动点，线段
的中点
的横坐标为
，线段
的中垂线交椭圆
于，
两点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求
的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知函数
令
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）若关于的不等式
恒成立，求整数的最小值；

（Ⅲ）若
，正实数
满足
，证明：

数学（文）参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分，共50分）

ACBBB CAADD

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．
12．4 13． 14． 15．

三、解答题：16．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)

……………………………………………………3分

∴
的最小值为
，最小正周期为. ………………………………5分

（Ⅱ）∵
， 即

∵
，
，∴
，∴
． ……7分

∵
共线，∴
．

由正弦定理
， 得
①…………………………………9分

∵
，由余弦定理，得
， ②……………………10分

解方程组①②，得
． …………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，则该车行驶总里程超过5万公里的概率为

． ………………3分

（Ⅱ）（ⅰ）依题意
． ……………6分

（ⅱ）5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆，记为A，B，C；

5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆，记为M，N．

“从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10种：

AB，AC ，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN．

“从5辆车中随机选取2辆车，恰有一辆车行驶里程超过5万公里”的选法共6种：

AM，AN，BM，BN，CM，CN．

设“选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里”为事件D，

则
．

答：选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里的概率为
．…………12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）矩形
所在的平面和平面
互相垂直，且
,

∴
平面
，

又
平面
，所以
, -----2分

又
，
，
，由余弦定理知
，

∴
得
----------------------4分

∴
⊥平面
， -----------------5分

平面
；∴平面
平面
； ------------6分

（Ⅱ）连结
延长交
于
，则
为
的中点，又为
的中点，

∴
∥
，又∵
平面
，∴
∥平面
-------------------8分

连结
，则
∥
，
平面
，
∥平面
-----------------10分

∴平面
∥平面
， ----------------11分

平面
， 所以

． ------------12分

19．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)设等差数列的公差为
，因为

所以

则
，………………………………3分

则
，

解得
，

所以
． ……………………6分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知

，

由


， ………………10分

因为
随着的增大而增大，所以
时，
最小值为

所以
．………………………………………………………………12分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）由于抛物线
的焦点坐标为
，所以
，

因此
， ……………………2分

因为原点到直线
：
的距离为
，

解得：
，……………………4分

所以椭圆的方程为
．……………………5分

（Ⅱ）由
，得方程
，（）……………6分

由直线与椭圆相切得
且
，

整理得：
，……………………8分

将
代入（）式得

，即
，解得
，

所以
，……………………10分

又
，所以
，所以
，

所以直线
方程为
，……………………11分

联立方程组
，得
，

所以点
在定直线
上．……………………13分

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
,
.

在
处的切线斜率为
， ………………………1分

∴切线
的方程为