杨村一中2015届高三年级第一次热身练数学（理）学科试卷

第Ⅰ卷 选择题 (共40分)

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分 ）

1. 已知是虚数单位,则
等于

A.
B.
C.
D.

2.条件

是条件
的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 非充分又非必要条件

3.执行如图所示的程序框图，若输出
，则框图中①处可以填入

A.
B.
C.
D.

4.已知
，其中实数
满足
，且的最大值是最小值的4倍，则的值是

A．
B.
C. 4 D.

5．已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是

A. B． C． D．

6.已知
是等差数列
的前项和，
，
，设
为数列
的前项和，则

A．2014 B．
C．2015 D．-2015

7．已知点
是双曲线
的左焦点，离心率为，过
且平行于双曲线渐近线的直线与圆
交于点，且点在抛物线
上，则

A．
B．
C．
D．

8．如图，已知圆
，四边形ABCD为圆
的内接正方形，E,F分别为边AB,AD的中点，当正方形ABCD绕圆心
转动时，
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷 (共110分)

二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分．）

9. 某工厂生产
三种不同型号的产品,三种产品数量之比依次为
,现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为的样本,样本中型号的产品有
件,那么此样本容量
.

10. 在
的展开式中，含
项的系数是 .

11．如图,在
中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,
,垂足为F,若AB＝6,
,则AE＝ .

12．曲线C的极坐标方程是
,设直线的参数方程是
（t为参数）,直线与x轴的交点是M, 而N为曲线C上一动点,则
的最大值是 .

13.已知
，则
.

14.若函数
在区间
上的值域为
，则实数的取值范围为 .

三、解答题：（共6道大题，共80分）

15. (本小题满分13分)

已知函数

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）在
中，内角
的对边为
，已知
,

，

求
的面积.

16．(本小题满分13分)

为培养高中生综合实践能力和团队合作意识，某市教育部门主办了全市高中生综合实践知识与技能竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的团队按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，共选拔出甲、乙等六个优秀团队参加决赛.

（Ⅰ）求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在第六位的概率；

（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的团队数记为
，求
的分布列和数学期望.

17．(本小题满分13分)

如图，平面
平面
，
是以
为斜边的等腰直角三角形，
分别为
，
，
的中点，
，
．

（Ⅰ）设
是
的中点，证明：
平面
；

（Ⅱ）证明：在
内存在一点
，使
平面
，并求点
到
，
的距离．

18．(本小题满分13分)

已知椭圆C中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点
、
.

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

(Ⅱ)椭圆C上的任一点
，过原点O向半径为r的圆M作两条切线，是否存在使得两条切线的斜率之积为定值，若是，求出
值；若不是，请说明理由.

19. (本小题满分13分)

设函数

（Ⅰ）若
，求函数
的极值；

（Ⅱ）若函数
存在两个零点
,

⑴求的取值范围；

⑵求证：
(e为自然对数的底数)

20．(本小题满分13分)

数列
的首项为（
），前项和为
，且
（
）．设
，
（
）．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）当
时，若对任意
，
恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）当
时，试求三个正数，，
的一组值，使得
为等比数列，且，，
成等差数列．

杨村一中2014-2015学年度第二学期月考高三数学答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）

1 A 2A 3B 4B 5D 6C 7D 8B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9. 72 10 15 11 1 12
13
14

三、解答题：（共6小题，共80分）

15、(本小题满分13分)

（1）解：

=

=
=

=
…………………………3分

令

，

的单调递增区间为：
…………………………6分

（2）由
，

又

因此
，解得：
…………………………8分

由正弦定理
，得
，

又由
可得：
…………………………10分

故
…………………………13分

16．(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件，

则
，所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为
．…………………4分

（Ⅱ）随机变量的可能取值为

，
，
,

，
，

随机变量
的分布列为：





























因为
，

所以随机变量的数学期望为
． ……………………13分

17(本小题满分13分)

(1) 证明：
平面
；利用向量只需证明
与平面
的法向量垂直即可.
在平面直角坐标系
中，
的内部区域满足不等式组
，

经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在
内存在一点
，使
平面
，由点M的坐标得点
到
，
的距离为
．

18(本小题满分13分)

19(本小题满分14分)

20(本小题满分14分)