天津市五区县2015年高三质量调查试卷（二）

数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题

（1~4）BCAC （5~8）DADB

二、填空题

（9） （10）
（11）2 （12）4 （13）
（14）

三、解答题

（15）解：（I）所有参与活动的观众有：180+120+240+120+360+180=1200，……2分

由
得
.………5分

（II）由题意可得支持选手B的有2人，分别为
；同理支持选手C的有3人，分别为
.………7分

从这5人中选出2人，所得基本事件的空间为
,共10个；………9分

支持选手C的基本事件有：
共有3个，所以两人均支持选手C的概率为
.………13分

（16）解：（I）由
，则
；………2分

根据二倍角公式和诱导公式得
，即
可化为
，即
.………4分

又
，得
.………………6分

（II）由余弦定理得
，即
，整理得
；………9分

由
得
，………………11分

所以
. …………13分

（17）（I）证明：因为

所以
，
，……………2分

取
中点
，连接
，则
，

因为平面
平面
，
平面
，

所以
，
. …………5分

因为
，
，

所以
平面
. ……………7分

（II）解：因为
分别为
的中点，

故
为
的中位线，
；……………9分

由（I）知
平面
，则
平面
，

所以
为直线
与平面
所成的角，……………11分

在
中，
，所以
. ……………13分

（18）解：（I）设数列
的公比为，因为
成等差数列，

所以
，即
，

解得
，所以
.…………………………………………………………3分

（II）因为
，
，

所以，当
时，
； ……………………………………………4分

当
时，
，
，即
…7分

所以，当
时，
，即
；

当
时，
，

所以
，两式相减可得

，

即
. ……………………………………………11分

因为
，

所以
，故
. …………………………………………13分

（19）解：（I）
的定义域为
.
， ………2分

因为曲线
在
和
处的切线互相平行，所以
，

即
，解得
. ………………………………4分

所以
，解得
或
.列表得





























↗



↘



↗



…………………………………………………………………………………7分

由表得，
的增区间为
，
；减区间为
. ………………8分

（II）
，

因为函数
既有极大值又有极小值，所以
有两个不等正根. …10分

所以
，……………………………………………………12分

解得
.……………………………………………………14分

（20）解：（I）设
：
（
），

由定义
知
，由
，可得
，……2分

椭圆
的标准方程为
. ……………………………………………3分

（II）依题意，显然直线
斜率存在，设
：
，

代入椭圆
的方程
可得
.

因为
与
交于两点
，所以
，即
，…5分

且
.①

设
的中点为
，则
.

因为
，所以
． …………………………………………7分

（1）当
时（即
），
，整理可得
.②

是以为直角顶点的等腰直角三角形，则
，

因为
，
，所以

，……………………………9分

将
代入整理得
，

解得
或
（
与②矛盾，舍去）.

由
时，解得
，直线
的方程为
. …………11分

（2）当
时，

（ⅰ）若
时，直线
的方程为
，代入椭圆方程中得
.

设
，
是以为直角顶点的等腰直角三角形，则
，即
，解得
或
（
舍去），

直线
的方程为
. ……………………………………………………………12分

（ⅱ）若
且
时，直线
过原点，依椭圆的对称性有
即原点
，不满足
，即此时不满足
为等腰直角三角形. ………13分

综上，直线
的方程为
或
或
..………14分