七校联考高三数学(理)试卷 2015.04.

选择题（每题5分，共8道）

1、设复数z1=1+i,z2=2+bi,若
为纯虚数,则实数b=(　　)

-2　 　B.2　　 C.-1　 　D.1

2、不等式组
表示的平面区域是(　　)

3、已知
,
,
则(　　)

A. a> b> c　 　B. a> c> b　　 C. c> a> b　　 D. c> b> a

4、阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(　　)

A.7　　 B.9　　 C.10　　 D.11

5、已知双曲线C的离心率为2,焦点为
,点A在C上.若|
|=2|
|,则cos∠
=(　　)

A.
　 　B.
　C.
　　 D.

6、已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P-ABCD的四个侧面中的最大面积是(　　)

A.3　 　B.8　　 C.
　　 D.6；

7、已知正项等比数列{an}满足
,若存在两项
,使得
,则
的最小值为(　　)

A.
　　 B.
　　 C.
　 　D.不存在

8、已知定义在R上的函数y=f(x) 对于任意的x都满足f(x+1) =-f(x), 当

-1≤x< 1时,
, 若函数
至少有6个零点, 则a的取值范围是(　　)

A.
∪(5, +∞)　　B.
∪[5, +∞)　　C.
∪(5,7)　　D.
∪[5,7)

二、填空题（每题5分，共6道）

9、某地区有小学150所，中学75所，大学25所。现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取60所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校.

10、如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=________.

11、若
,则二项式
的展开式中常数项是________.

12、已知直线
的参数方程是
（为参数），以原点
为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为
，则直线
被圆所截得的弦长等于 .

13、已知
，
，当“x” 是“x”的充分不必要条件，则的取值范围是 .

14、在
的边
、
上分别取
、
，使
，
，
与
交于点，若
，
，则
.

三、解答题

15、（13分）已知△ABC的内角为A、B、C, 其对边分别为a、b、c, B为锐角, 向量

, 且
.

(1) 求角B的大小;

(2) 如果b=2, 求S△ABC的最大值.

16、（13分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.

某市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).

(1)从这15天的PM2.5监测数据中,随机抽取三天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;

(2)从这15天的数据中任取三天数据,记ξ表示抽取PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列;

(3)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级?

PM2.5日均值(微克/立方米)



2

8

5

　

　

　

　

　





















3

7

1

4

3



























4

4

5































6

3

8































7

9

































8

6

3































9

2

5

































17、（13分）如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=
,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD中点.

(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值;

(2)求B点到平面PCD的距离;

(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.

18、（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn,且
.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设
,数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>
对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值;

(3)设
,是否存在m∈N*,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

19、（14分）椭圆E:
(a>b>0)的焦点到直线x-3y=0的距离为
,离心率为
;抛物线G:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点重合;斜率为k的直线l过G的焦点,与E交于A,B,与G交于C,D.

(1)求椭圆E及抛物线G的方程;

(2)是否存在常数λ,使
为常数,若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.

20、（14分）已知函数f(x) =elnx, g(x) =lnx-x-1, h(x) =
x2.

(1) 求函数g(x) 的极大值;

(2) 求证: 存在x0∈(1, +∞), 使g(x0) =g
;

(3) 对于函数f(x) 与h(x) 定义域内的任意实数x, 若存在常数k, b, 使得f(x) ≤k x+b和h(x) ≥k x+b都成立, 则称直线y=k x+b为函数f(x) 与h(x) 的分界线. 试探究函数f(x) 与h(x) 是否存在“分界线”? 若存在, 请给予证明, 并求出k, b的值; 若不存在, 请说明理由.

0

1

2

3

















高三年级七校联考 理科数学 答案（2015.4）

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

C

B

A

D

A

A



二、填空题：

9、36，18 10、5 11、
12、4 13、
14、12

三、解答题：

15、[解析]（1）//

（为锐角）

（2）由
得

∵
，∴
.

∴

即
的最大值为
.

16、[解析] （1）记“从15天的PM2.5监测数据中，随机抽取三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件，
（4分）

（2）依据条件，
服从超几何分布：其中
，
，
，
的可能值为0,1,2,3,

（
0，1,2,3） （7分）

其分布列为：

（10分）

（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为
（11分）

设一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则
.

∴
，∴一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级.（13分）

17、[解析]（1）在
中,
,
为
中点，所以
，又侧面
底面
，平面
平面
，
平面
，所以
平面
.

又在直角梯形
中，连结
，易得
，所以以
为坐标原点，直线
为轴，直线
为轴，直线
为轴建立空间直角坐标系，则

，
，
，
，

∴
，易证
平面
，

∴
是平面
的法向量，
.

∴直线
与平面
所成角的余弦值为
.

（2）
,

设平面
的一个法向量为
，

则
，取
，得
.

∴点到平面
的距离
.

（3）存在.设
（
）,

∵
,∴
，

∴
，∴
.

设平面
的一个法向量为
，

则
，取
，得
.

又平面
的一个法向量为
，

∵二面角
的余弦值为
，∴
，

得
，解得
或
（舍）,

∴存在点
，使得二面角
的余弦值为
，且
.

18、[解析]（1）设、
的公共焦点为
，由题意得
，

故
，
，
.（2分）

∴椭圆：
，抛物线
：
.（4分）

（2）存在.设
，
，
，
.

直线
的方程为
，与椭圆的方程联立得

化简得
，

.

，
（6分）

（7分）.

直线
的方程为
与抛物线
的方程联立得

化简得
，
（9分）

. （11分）

,

要使
为常数，则
，得
,

故存在
,使
为常数. （14分）

19、[解析]（1）当
时，
，（1分）

当
时，
（2分）

而当
时，
， ∴
（
）. （4分）

（2）
，

∴
.（7分）

∵
，

∴
单调递增，
. （8分）

令
，得
，所以
. （10分）

（3）

当为奇数时，
为偶数，∴
，
. （12分）

当为偶数时，
为奇数，∴
，
（舍去）

综上，存在唯一正整数
，使得
成立. （14分）

20、[解析]（1）
（
）. （1分）

令
，解得
；

令
，解得
. （2分）

∴函数
在
内单调递增,在
上单调递减. （3分）

∴
的极大值为
（4分）

（2）由（1）知在
上单调递减，

令，则
在
上单调递减.

， （5分）

取
，则
.（6分）

故存在
，使
，即存在
，使
.（7分）

（说明:
的取法不唯一, 只要满足
, 且
即可）

（3）设
（
）,

则，

当
时,
, 函数单调递减；

当
时，
，函数
单调递增.

∴
是函数
的极小值点，也是最小值点，即
.

∴函数
与
的图象在
处有公共点
. （9分）

设
与
存在“分界线”且其方程