2015年普通高等学校招生全国统一考试

上海数学试卷（理工农医类）

填空题（本大题共有14题，每题4分，满分56分）

1．设全集
，若集合
，
，则
；

2．若复数
满足
，其中
为虚数单位，则
；

3．若线性方程组的增广矩阵为
，解为
，则
；

4．若正三棱柱的所有棱长均为
，且其体积为
，则
；

5．抛物线
上的动点
到焦点的距离的最小值为1，则
；

6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为
，则其母线与轴的夹角大小为 ；

7．方程
的解为 ；

8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 ；（结果用数值表示）

9．已知点
和
的横坐标相同，
的纵坐标是
的纵坐标的2倍，
和
的轨迹分别为
和
，若
的渐近线方程为
，则
的渐近线方程为 ；

10．设
为
，
的反函数，则
的最大值为 ；

11．在
的展开式中，
项的系数为 ；（结果用数值表示）

12．赌博有陷阱，某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1、2、3、4、5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）；若随机变量
和
分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则
元；

13．已知函数
，若存在
满足
，且
，则
的最小值为 ；

14．在锐角三角形
中，
，
为边
上的点，
与
的面积分别为2和4，过
作
于
，
于
，则
；

选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）

15．设
，则“
中至少有一个数是虚数”是“
是虚数”的（ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

16．已知点
的坐标为
，将
绕坐标原点
逆时针旋转
至
，则点
的纵坐标为（ ）

A.
B.
C.
D.

17．记方程①：
；方程②：
；③：
；其中
是正实数，当
成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是（ ）

A. 方程①有实根，且②有实根 B. 方程①有实根，且②无实根

C. 方程①无实根，且②有实根 D. 方程①无实根，且②无实根

18．设
是直线
与圆
在第一象限的交点，则极限
（ ）

A.
B.
C.
D.

解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19. (本题满分12分)

如图，在长方体
中，
分别是棱
的中点.证明
四点共面，并求直线
与平面
所成的角的大小.

20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，
三地有直道相通，
千米，
，
千米，现甲乙两警员同时从
地出发匀速前往
地，经过
小时，他们之间的距离为
(单位：千米).甲的路线是
，速度为5千米/小时，乙的路线是
，速度为8千米/小时. 乙到达
地后在原地等待. 设
时，乙到达
地.

(1)求
与
的值；

(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米. 当
时，求
的表达式，并判断
在
上的最大值是否超过3？说明理由.

21. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知椭圆
，过原点的两条直线
和
分别与椭圆交于点
和
记得到的平行四边形
的面积为
.

(1)设
. 用
的坐标表示
到直线
的距离，并证明
；

(2)设
与
的斜率之积为
，求面积S的值.

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分6分.

已知数列
与
满足
.

(1)若
且
,求
的通项公式;

(2)设
的第
项是最大项,即
,求证:
的第
项是最大项;

(3)设
,
,求
的取值范围,使得
有最大值
和最小值
，且使得

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.

对于定义域为R的函数
，若存在正常数T，使得
是以T为周期的函数，则称
为余弦周期函数，且称T为其余弦周期，已知
是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R，设
单调递增，

（1）验证
是以
为余弦周期的余弦周期函数；

（2）设
，证明对任意
，存在
，使得
；

（3）证明：“
为方程
在
上的解”的充要条件是“
为方程
在
上的解”，并证明对任意
都有
。

参考答案

填空题.

题号

1

2

3

4

5

6

7



答案





16

4

2







题号

8

9

10

11

12

13

14



答案

120



4

45

0.2

8







选择题.

15. B；16. D；17. D；18. A

解答题

19.（1）证明：连结
，

（2）以
为坐标原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系，

20. 解：（1）
，由余弦定理得：

（2）

，
.

21. （1）证明：