哈尔滨三中2015年第三次模拟考试

数学试卷（理工类）答案及评分标准

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

B

A

B

C

B

D

C

C

D

A



二、填空题：

13. 1 14.
15.
16.

三、解答题：

17. (Ⅰ）
， ………………………… 2分

,
, ………………………… 4分

． ………………………… 6分

(Ⅱ)
，

上述两式作差得

………………………… 12分

18. (I)

……………………… 4分

有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关.………………………… 6分

(II)
的可能取值为0,1,2,3 ………………… 7分

X

0

1

2

3



P













………………………… 10分

………………………… 12分

19. (Ⅰ) 平面
平面
,
平面
,

,

且平面
平面
,
平面
,
平面
,

又
,
平面
，
平面
,
,

平面
………………… 4分

(Ⅱ)存在，为中点

方法1:以
中点
为原点，设
中点为
，以
分别为
轴

建立空间直角坐标系，平面
的法向量
， …………… 7分

设
,平面
的法向量
， …………… 10分

，
或
（舍） …………… 12分

方法2：

过作

交
于
,过
作

交
于
,连接

为二面角
的平面角，

;

同理，设二面角
的平面角为
，
； …………… 10分

二面角
的平面角为

，

)=

………………………… 12分

20. (Ⅰ)
，
，

，
，

，
，

…………… 4分

(Ⅱ)圆
：
，

直线
与圆
相切时，
，
， …………… 6分

，
，
得
得

得
或

，
，
，

，
或
，

综合以上，
， …………… 9分

，

， …………… 10分

时，
，
在
单调递增，

，即
. …………… 12分

21. (Ⅰ)由
得
……2分

又
…………3分

(Ⅱ)由上知

得

讨论得当
时
在
上为增函数，

当
时
在
上为增函数，在
上为减函数

当
时
在
上为增函数，在
上为减函数

当
时
在
上为增函数，在
上为减函数…………8分

(III)①当
时，由(Ⅱ)知
在
上为减函数，不符合

②当
时，由(Ⅱ)知
在
单调递增，则
在

单调递增成立；

同时需要当
时

即

得
，解得
………10分

同时也需要
在区间
上也为增函数

由

记

同时当
时，

又

，所以此种情况
………… 11分

③当
时, 需要
在区间
为增

函数，讨论同上

记

同时当
时

而

只有
时，才能使
在
上为增函数.

综上：
…………… 12分

(Ⅰ) 解析：（Ⅰ）证明：
是直径，
，
,
≌

,
…………… 5分

（Ⅱ）解：
切⊙O于点E，

,

ED
,
,在
中，
.

…………… 10分

23.（Ⅰ）由
得
，
，即

…………… 4分

曲线
表示以
为圆心，
为半径的圆. …………… 5分

（Ⅱ）
代入
得

；

…………… 10分

24. (Ⅰ)

……………4分

当且仅当
时，等号成立，故
. ……………5分

(Ⅱ)证明：(
)·

　　　　 (
)2，

即(
)

,

故

………………………10分