模拟训练数学（理科）

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．复数
计算的结果是（ ）

A．－1 B．
C．
D．

2．若
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．
的展开式中常数项是（ ）

A．5 B．
C．10 D．

4．已知
为等差数列，
为其前n项和．若
，
，则必有（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．6 B．9 C．12 D．18

6．右图是函数
图像的一部分，则和
为（ ）

Ａ．
,

Ｂ．
,

Ｃ．
,

Ｄ．
,

7．展开
合并同类项后的项数是（ ）

A．11 B．66 C．76 D．134

8．已知随机变量X的取值为0，1，2，若
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

9．若变量
满足约束条件
，则
的最大值为( )

A．4 B．3 C．2 D．1

10．已知三棱锥
的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足
，
，
,则三棱锥
的侧面积的最大值为（ ）

A．
B．1 C．2 D．4

11．已知抛物线
的焦点与双曲线
的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
=
，若
存在唯一的零点
，且
＞0，则的取值范围是（ ）

.（2，+∞） .（-∞，-2）
.（1，+∞） .（-∞，-1）

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知
，函数
在
上单调递减，则的取值范围是 ；

14．如右图，输入正整数
，满足
，则输出的
；

15．若直线
：
被圆C：
截得的弦最短，则k= ；

16．将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第10行从左向右的第5个数为 ．

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）

17．（本小题共12分）从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率
．

（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；

（Ⅱ）若该批产品共20件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的分布列与期望．

18．（本小题共12分）已知数列{
}中，
为其前n项和，且
，当
时，恒有
（为常数）．

(Ⅰ)求常数的值；

(Ⅱ)当
时，求数列{
}的通项公式；

（Ⅲ）设
，数列
的前n项和为
，求证：
．

19.（本小题共12分）四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2
，SA＝SB＝
．

（Ⅰ）求证：SA⊥BC；

（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值．

20．（本小题共12分）已知定点
及椭圆
，过点
的动直线与该椭圆相交于
两点.

（Ⅰ）若线段
中点的横坐标是
，求直线
的方程；

（Ⅱ）在轴上是否存在点
，使
为常数？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.

21.（本小题共12分）（Ⅰ）已知正数
、
满足
，求证：
；

（Ⅱ）若正数
、
、
、
满足
，

求证：
．

请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，
和
相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于
两点，连结
并延长交
于点.

证明：（I）
；

（II）
.

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知椭圆C：
，直线
：
，

（I）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C与直线
的极坐标方程；

（II）已知P是
上一动点，射线OP交椭圆C于点R，又点Q在OP上且满足
．当点P在
上移动时，求点Q在直角坐标系下的轨迹方程．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
．

（I）证明：
；

（II）求不等式：
的解集．

模拟训练

数学（理科）参考答案

一．选择题：1．C 2．A 3．D 4．B 5．B 6．A

7．B 8．A 9．B 10．C 11．C 12．B

二．填空题：13．
， 14．
， 15．1， 16．50．

三、解答题：

17．【解】：（Ⅰ）
．

（Ⅱ）∵该批产品共20件，由（Ⅰ）知其二等品有
件，

显然X=0,1,2．故

．
．
．

X

0

1

2













所以X的分布列为

∴EX=

18．【解】： (Ⅰ)当
时，
，∴
，
或

当
时，
则有
与已知矛盾，

∴
，只有
．

当
时，由
，∵
又
∴

∴

(Ⅱ)∵
，
，当
时，

，∴

当

（Ⅲ）

当
时，显然成立，当
时有

∴

19．【解法一】：（Ⅰ）作
，垂足为O，连结AO，由侧面
底面ABCD，得
底面ABCD，

因为SA=SB，所以AO=BO，

又
，故
为等腰直角三角形，
，

由三垂线定理，得
．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，依题设
，

故
，由
，
，
，得

SO=1，
．△SAB的面积
．连结DB，

得△DAB的面积
设D到平面SAB的距离为h，

由于
，得
，解得
．

设SD与平面SAB所成角为，则
．

所以，直线SD与平面SAB所成的正弦值为
．

【解法二】：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结SO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．

因为SA=SB，所以AO=BO．

又
，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．

如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O—xyz，

，
，
，S（0，0，1），
，

，
，所以SA⊥BC．

（Ⅱ）取AB中点E，
，

连结SE，取SE中点G，连结OG，
．

，
，
．

，
，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直。

所以OG⊥平面SAB，
与
的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为
，则与
互余．

，
．
，
，

所以，直线SD与平面SAB所成的角的正弦值为
．

20．【解】：（1）设直线AB：x=my-1

消去x得：

所以
由

得：

所求直线AB方程为：

（2）设M
，则

=

=

所以当且仅当，即存在定点
使
为定值

或
，只要
即
时，……

21．【解】：（Ⅰ）先求函数
（
）的最小值

∵

于是
，

当0<
时，
，
在区间
是减函数，

当
时，
，
在区间
是增函数，

所以
时取得最小值，
，∴

∵

，∴
，由①得

∴

（Ⅱ）∵
，设

则
，由（Ⅰ）的结论可得：

…………………①

同理∵
有：

………②

①+②得：

由于

∴

22．【证明】：（1）由
与
相切于，得
，同理
，

所以
从而
，

即
……4分

（2）由
与
相切于，得
，又
，得

从而
，即
，综合（1）的结论，
……10分

23．【解】：（I）C：
，
：

（II）设
，则

24．【解】：（I）

∴

（II）①当
时，
，而

∴
无解

②当
时，
，原不等式等价于：