2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

(第四次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知
则

A．
B．
C．
D．

2．为虚数单位，则

A. B.
C.
D.

3．已知D是
的边BC上（不包括B、C点）的一动点，且满足
，则
的最小值为

A. 3 B. 5 C. 6 D. 4

4．设
是公差不为0的等差数列，
且
成等比数列，则
的前项

和
=A．
B．
C．
D．
5.
的展开式中含
的项的系数为

A．4 B. 5 C. 6 D．7

6．下列四个判断：

①某校高三一班和高三二班的人数分别是
，某次测试数学平均分分别是
，则这两个班的数学平均分为
；

②
名工人某天生产同一零件，生产的件数是
设其平均数为,中位数为
,众数为，则有
；

③从总体中抽取的样本
，则回归直线=
必过点（
）；

④已知
服从正态分布
,
，且
，则
.

其中正确判断的个数有：

A．3个 B．0个 C． 个 D．1个

7．在
中，设命题
，命题
是等边三角形，那么命题p是命题q的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

若双曲线
的一条渐近线与圆
至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是

A．
B.
C.
D.

9．已知锐角
满足：
，
，则

A．
B．
C．
D．

10．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如:若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线

＞
，弦AB过焦点，△ABQ为其阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为

A．
　 B．
C．
D．

11．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为

A．
B．
C．
D．

12．若存在正实数
，对于任意
，都有
，则称函数
在
上是有界函数．下列函数：

①
； ②
； ③
； ④
.

其中“在
上是有界函数”的序号为

A. ②③ B. ①②③ C. ②③④ D. ③④

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．等差数列
中
，前项和为
,

，

则
的值为____.

14. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为

　　.

15. 已知
,
满足约束条件
,若
的最小值为,

则
_______

16．下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据：

父亲身高（cm）

173

170

176



儿子身高（cm）

170

176

182





因为儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 ．

参考公式: 回归直线的方程是：
，

其中
；其中
是与
对应的回归估计值.

参考数据：
，
.

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17. （本小题满分12分）

在
中,
分别为内角
所对的边，且满足
.

(1)求的大小；

(2)现给出三个条件：①
； ②
；③
.

试从中选出两个可以确定
的条件，写出你的选择并以此为依据求
的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) .

18.（本小题满分12分）

某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于
小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段
，
，
，
，
（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．

（1）求抽取的200位学生中，参加

社区服务时间不少于90小时的学生人

数，并估计从全市高中学生中任意选取

一人，其参加社区服务时间不少于90

小时的概率；

（2）从全市高中学生（人数很多）

中任意选取3位学生，记
为3位学生

中参加社区服务时间不少于90小时的

人数．试求随机变量
的分布列和数学

期望
和方差
．

19. （本小题满分12分）

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）.将△AEF沿EF折起到
的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）

（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（3）求二面角B－A1P－F的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆
的中心在原点
，焦点在轴上，离心率为
，右焦点到右顶点的距离为．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）是否存在与椭圆
交于
两点的直线
：
，使得
成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数
，
．

（1）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求的值；

（2）求函数
的单调区间；

（3）设
，当
时，都有
成立，求实数的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．

如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，

且不与△ABC的顶点重合，已知AE的长为m，AC的

长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0

的两个根．

(1)证明：C，B，D，E四点共圆；

(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．

23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线
，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
.

（1）将曲线
上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
、2倍后得到曲线
.试写出直线
的直角坐标方程和曲线
的参数方程；

（2）在曲线
上求一点P，使点P到直线
的距离最大，并求出此最大值.

24．（本小题满分10分）选修4—5，不等式选讲

已知函数

（1）若a=1，解不等式
；

（2）若
，求实数的取值范围。

2014届高三第五次模拟数学（理科）试卷参考答案

一、选择题：1--5: C B D A B 6--10: D C A C B 11-12: D A

二、填空题：13. 2014 14.
15.
16．
cm.

三．解答题：

17. 解:(Ⅰ)依题意得
,即
∵
, ∴
, ∴
, ∴
． ----6分

(Ⅱ)方案一：选择①② 由正弦定理
，得
,

．

. ---------12分

方案二：选择①③ 由余弦定理
,有
,则
,
,所以
．

说明:若选择②③,由
得，
不成立,这样的三角形不存．

18.解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段
小时的学生人数为
（人），参加社区服务时间在时间段
小时的学生人数为
（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为
人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为
…………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为
由已知得，随机变量
的可能取值为
．

所以
；
；

；
．

随机变量
的分布列为

0

1

2

3















因为
~
，所以
．
…12分

19. 解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .

(1)在图1中，取BE的中点D，连结DF． ∵AEEB=CFFA=12，∴AF=AD=2，而∠A=600,∴△ADF是正三角形， 又AE=DE=1，∴EF⊥AD

在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．

由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．……………………….3分

又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP ……………………..4分

(2)建立分别以ED、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0),A(0,0,1),

B(2,0,0),F(0,
,0), P (1,
,0),则
,
． 设平面ABP的法向量为
，

由
平面ABP知，
，即

令
，得
，
．

,

, 所以直线A1E与平面A1BP所成的角为600…………8分

(2)
，设平面AFP的法向量为
．

由
平面AFP知，
，即

令
，得
，
．

,

所以二面角B-A1P-F的余弦值是
………………………………12分

20.解：（Ⅰ）设椭圆
的方程为

，半焦距为. 依题意
，由右焦点到右顶点的距离为，得
．解得
，
．所以
．

所以椭圆
的标准方程是
．………4分

（Ⅱ）解：存在直线
，使得
成立.理由如下：

由
得
．

，化简得
．

设
，则
，
．

若
成立，即
，等价于
．所以
．
，

，
,

化简得，