2015重庆高考压轴卷理科数学

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.集合
，则
??

A．
??? ??? B．
? ???? C．
? D．

2.已知i为虚数单位，复数

对应的点位于

A．第一象限??? B．第二象限???? C．第三象限???? D．第四象限

3.下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，＋∞)上是减函数；

(3)是偶函数.这样的函数是?? (?? )?????

A. y＝x3＋1??????? B. y＝log2(|x|＋2)???? C. y＝()|x|?? ??? D. y＝2|x|

4.将函数
的图象向左平移
个单位，所得到的函数图象关于轴对称，则的一个可能取值为

A．
???????? B．
??????? C．
??????? D．

5.已知向量
=（3cosα，2）与向量
=（3，4sinα）平行，则锐角α等于（　　）

　 A．
B．
C.
D．

6.棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是

A．
? B．
? C．? 4 ? D．? 3

7.执行如图所示的程序框图，输出的k值为

A.7 B.9 C.11 D.13

8.已知函数
的两个零点为
并且
则
的取值范围是（??? ）

A．
??? B．
???? C．
?????? D．
?

9.如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,—1)，B(,—1)，C(,1)，D(0,1)，

正弦曲线
和余弦曲线
在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD

区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是

A．
?? ?? B．
????? C．
???? D．
?

10.已知定义在
上的函数
满足：①
；②对所有，
，且
，有
．若对所有，
，
，则
的最小值为（?? ）

A．
????? B．
?? ? C．
???????? D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11.已知
，则
???????? ．

12.已知数列{an}，an=2n，则
+
+…+
=　　．

13.设x，y，z＞0，满足xyz+y2+z2=8，则log4x+log2y+log2z的最大值是　　．

考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.

14.（几何证明选讲选做题）

如图2，圆
的直径
，直线
与圆
相切于点
，
于点D，若
，设
，则
______．??????????

15.在直角坐标系
中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线
经过曲线
的焦点，则实数的值为___________。

16.不等式
的解集是????????????? .

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

17.(本小题满分8分)? 已知抛物线C：y=-x2+4x-3 .

（1）求抛物线C在点A（0，－3）和点B(3，0)处的切线的交点坐标；

（2）求抛物线C与它在点A和点B处的切线所围成的图形的面积.

18. 某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖，甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为
，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．

（1）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；

（2）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．

19.（本小题满分10分）

如图，在直三棱柱
中，
，
，
，动点满足
，当
时，
.

（1）求棱
的长；

（2）若二面角
的大小为
，求
的值.

20. 已知数列
的前项的和为
, 且
.

（1）求
,
及
；

（2）设
, 数列
的前项和为
, 若对一切
均有
，求实数的取值范围．

21. 如图，曲线
是以原点为中心、
为焦点的椭圆

的一部分，曲线
是以为顶点、
为焦点的抛物线的一部分，是曲线
和
的交点且
为钝角，若
，
．（I）求曲线
和
的方程；（Ⅱ）过
作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线
依次交于
四点，若为
的中点、为
的中点，问：
是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由．

22.（本小题满分13分）已知无穷整数数集
（
）具有性质：对任意互不相等的正整数，
，
，总有
．

若
且
，判断
是否属于，并说明理由；

求证：
，
，
，
，
，
是等差数列；

已知，
且
，记
是满足
的数集中的一个，且是满足
的所有数集的子集，求证：，互质是
的充要条件．

 2015重庆高考压轴卷数学理word版参考答案

一．DBCBA CCBBB

11.11 12.1﹣

13.
14.
? ??15.4 16.

17.(1)
，
，

所以过点A（0，－3）和点B(3，0)的切线方程分别是
和
，

两条切线的交点是
，………………4分

(2)围成的区域如图所示：区域被直线
分成了两部分，分别计算再相加，得：

即所求区域的面积是
.??? ………………8分

18. （1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A，

则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”，

∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为
，

且三人投票相互没有影响，

∴某节目的投票结果是最终获一等奖的概率：

P（A）=
=
．

（2）所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0，1，2，3，

P（X=0）=
=
，

P（X=1）=
=
，

P（X=2）=
=
，

P（X=3）=
=
，

∴X的分布列为：

X 0 1 2 3

P

E（X）=
=2．

19.（1）以点为坐标原点，
分别为
轴，

建立空间直角坐标系，设
，则
，
，
，

所以
，
，
，?????????

当
时，有

解得
，即棱
D的长为
.?

（2）设平面
的一个法向量为
，

则由
，得
，即
，

令
，则
，所以平面
的一个法向量为
，………6分

又平面
与轴垂直，所以平面
的一个法向量为
，

因二面角
的平面角的大小为
，

所以
，结合
，解得
.? ………………10分

20. （1）
，
，
；

（2）由（1）得
，
，

∴
，解得

21. （Ⅰ）解法一：设椭圆方程为
，则

，得
.

设
，则
，
，

两式相减得
，由抛物线定义可知
，则
或
（舍去）

所以椭圆
方程为
，抛物线
方程为
.…4分

解法二：过
作垂直于轴的直线
，即抛物线的准线，作
垂直于该准线，作
轴于
，则由抛物线的定义得
，所以

，

得
，所以c＝1，

(

，得
）,

因而椭圆
方程为
，抛物线
方程为
………………4分

（Ⅱ）设
把直线

22.（Ⅰ）解：13?A．

设13∈A，则由{1，21}?A，性质P可得1+|13-9|=5∈A，与5?A矛盾，∴13?A；（Ⅱ）证明：对任意k+2≤n，由性质P可得
，∵
，∴
且
，∴
，∴
，∴a1，a2，a3，…，an是等差数列；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，a1，a2，a3，…，an公差为d，且d∈Z设ai=0，aj=x，ak=y，i＜j＜k，则y=（k-i）d，x=（j-i）d，首先证明：x，y互质是M=N的充分条件．∵x，y互质，∴d=1，∵M是满足{0，x，y}?A的所有数集A的子集，∴M=N；其次证明x，y互质是M=N的必要条件．假设x，y不互质，则x，y有大于1的因数p，∴满足条件A={a1，a2，a3，…，an，…}中的元素所构成的数列a1，a2，a3，…，an，…的公差d可以取1，也可以取p，此时A={0，p，2p，…，（n-1）p，…}满足条件，且={0，p，2p，…，（n-1）p，…}?N，与M=N矛盾，∴x，y互质，∴x，y互质是M=N的充要条件．