2015重庆高考压轴卷文科数学

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.集合
，则
??

A．
??? ??? B．
? ???? C．
? D．

2.已知i为虚数单位，复数

对应的点位于

A．第一象限 ? B．第二象限? ??? C．第三象限????? D．第四象限

3.下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，＋∞)上是减函数；

(3)是偶函数.这样的函数是?? (?? )?????

A. y＝x3＋1?????? B. y＝log2(|x|＋2)???? C. y＝()|x|?? ??? D. y＝2|x|

4.将函数
的图象向左平移
个单位，所得到的函数图象关于轴对称，则的一个可能取值为

A．
?????? B．
??????? C．
??????? D．

5.已知向量
=（3cosα，2）与向量
=（3，4sinα）平行，则锐角α等于（　　）

　 A．
B．
C．
D．

6.棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是

A．
? B．
? C．? 4 ? D．? 3

7.执行如图所示的程序框图，输出的k值为

A.7 B.9 C.11 D.13

8.已知
且
，若函数
过点
，则
的最小值为（????? ）

A、
?????? B、
????? C、
????? D、

9.已知四面体P－ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2AC＝
, 若四面体P－ABC的体积为
,则该球的体积为

A．
? ???? B．
????? C．
　　　　D．

10.对于实数
定义运算“
”：
，设
，且关于的方程
恰有三个互不相等的实数根
，则
的取值范围是（?? ）

A．
????? B．
????? C．
????? D．
?????

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11.函数
的图象在点M
处的切线方程是
,
=???????????? .

12.设数列
满足
，
，则
　　? 　　

13.若
，则
????? ．

14.已知向量
满足
，
，则
的夹角为　　．

15.定义：如果函数
在定义域内给定区间
上存在

，满足
，则称函数
是
上的“平均值函数”，
是它的一个均值点，例如
是
上的平均值函数，
就是它的均值点．现有函数
是
上的平均值函数，则实数的取值范围是???????? ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

16.(本小题满分8分)? 已知抛物线C：y=-x2+4x-3 .

（1）求抛物线C在点A（0，－3）和点B(3，0)处的切线的交点坐标；

（2）求抛物线C与它在点A和点B处的切线所围成的图形的面积.

17.（本小题满分13分）已知
（
）的部分图象如图所示．

写出
的最小正周期及，
的值；

求
在
上的取值范围．

18.（本小题满分12分）

数列
的前n项和为
，等差数列
的各项为正实数，其前n项和为
成等比数列.

（I）求数列
的通项公式；

（II）若
时求数列
的前n项和
.

19.如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AB=
，AD=AA1=3，E1为A1B1中点．

（Ⅰ）证明：B1D∥平面AD1E1；

（Ⅱ）证明：平面ACD1⊥平面BDD1B1．

20.(本题满分1 2分)

某工厂有工人500名，记35岁以上(含35岁)的为A类工人，不足35岁的为B类工人，为调查该厂工人的个人文化素质状况，现用分层抽样的方法从A、B两类工人中分别抽取了40人、60人进行测试．

(I)求该工厂A、B两类工人各有多少人?

(Ⅱ)经过测试，得到以下三个数据图表：

图一：75分以上A、B两类工人成绩的茎叶图

(茎、叶分别是十位和个位上的数字)(如图)

①先填写频率分布表(表一)中的六个空格，然后将频率分布直方图(图二)补充完整；

②该厂拟定从参加考试的79分以上(含79分)的B类工人中随机抽取2人参加高级技工培训班，求抽到的2人分数都在80分以上的概率。

21.（本小题满分12分）

? 定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的，如图，椭圆
与椭圆
是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆
的长轴长为4，椭圆
短轴长是1，点
分别是椭圆
的左焦点与右焦点。

（1）求椭圆
的方程；

（2）过
的直线交椭圆
于点
，

求
面积的最大值。

 2015重庆高考压轴卷

数学文参考答案

1.DBCBA CCAAA

11.4； ???12.13 13.
14.
15.

16. 1.（1）因为
所以
在函数
的图象上

又
，所以

所以
???????????????????????????????????????????????

（2）因为
，其定义域为

???????????????????????????????????

当
时，
，

所以
在
上单调递增

所以
在
上最小值为
???????????????????????

当
时，令
，得到
(舍)

当
时，即
时，
对
恒成立，

所以
在
上单调递增，其最小值为
?

当
时，即
时，
对
成立，

所以
在
上单调递减，

其最小值为
?????????????????

???? 当
，即
时，
对
成立，
对
成立

所以
在
单调递减，在
上单调递增

其最小值为

综上，当
时，???
在
上的最小值为

????? 当
时，
在
上的最小值为

????? 当
时，???
在
上的最小值为

17. 解：（1）根据
的步伐图象，可得
,

令
，求得
，

故
位于y轴右侧的第一条对称轴为
，

∴
；

（2）由
，可得
，
，

故

18.

19.【考点】： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．

【专题】： 空间位置关系与距离．

【分析】： （Ⅰ）连结A1D交AD1于G，证明B1D∥E1G，利用直线与平面平行的判定定理证明B1D∥平面AD1E1．

（Ⅱ）设AC∩BD=H，通过△BHC～△DHA，结合BC=1，AD=3，求出
，
，证明AC⊥BD，然后证明BB1⊥AC，得到AC⊥平面BDD1B1，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ACD1⊥平面BDD1B1．

（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G，

因为ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，

所以四边形ADD1A1为平行四边形，

所以G为A1D的中点，

又E1为A1B1中点，所以E1G为△A1B1D的中位线，

所以B1D∥E1G…（4分）

又因为B1D平面AD1E1，E1G平面AD1E1，

所以B1D∥平面AD1E1．? …（6分）

（Ⅱ）设AC∩BD=H，

因为AD∥BC，所以△BHC～△DHA

又BC=1，AD=3，所以
，

∵AD∥BC，∠BAD=90°，所以∠ABC=90°

∴
，

从而
，
，

所以CH2+BH2=BC2，CH⊥BH，即AC⊥BD…（9分）

因为ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，AA1⊥底面ABCD

所以侧棱BB1⊥底面ABCD，又AC底面ABCD，所以BB1⊥AC…（10分）

因为BB1∩BD=B，所以AC⊥平面BDD1B1…（11分）

因为AC平面ACD1，所以平面ACD1⊥平面BDD1B1．…（12分）

【点评】： 本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．

20.解：（I）有题知A类工人有
（人）；……………2分

则B类工人有500-200=300（人）。…………………………………….3分

②79分以上的B类工人共4人，记80分以上的三人分别为甲，乙，丙，79分的工人为a，从中抽取2人，有（甲，乙），（甲，丙），（甲，a），（乙，丙），（乙，a），（丙，a）共种抽法，抽到2人均在80分以上有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙），共3种抽法。………………………………………………………………………11分

则抽到2人均在80分以上的概率为
。………………………………12分

（II）解：（1）设椭圆
的半焦距为c，椭圆
的半焦距为
。由已知
，

∵椭圆
与椭圆
的离心率相等，即，

∴

即

21.∴
的面积

∵
。等号成立当且仅当
，即
时，

∴
，即
面积的最大值为
。

∴
，即
，

∴

∴椭圆
的方程是
，

椭圆
的方程是
。

（2）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：
。

联立：
，得
，

即
，

∴
，

设
，

则
，

∴
，

的高即为点
到直线
的距离
。