2015年泉州五中高三数学模拟考试理 科 数 学

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式

s=
　　　　V=
Sh

其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
的共轭复数是

A．
B．
C．
D．

2．“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3．已知数列
为递增等比数列，其前项和为
．若
，
，则

A．
B．
C．
D．

4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径为2的圆，则这个几何体的表面积是

A．
B．
C．
D．

5．已知
满足
，
．若的最大值是最小值的4倍，则的值为

A．
B．
C．
D．

6．执行如图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

７．若非零向量
满足
，
，则
与
的夹角是

A．
B．
C．
D．

8．已知
的图像与直线
的两个交点的最短距离是，要得到
的图像，只需要把
的图像

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

9．已知向量
，
与
的夹角为
．若向量
满足
，则
的最大值是

A．
B．
C．4 D．

10．已知数列
是正项等差数列，若
，则数列
也为等差数列．已知数列
是正项等比数列，类比上述结论可得

A．若
满足
，则
也是等比数列

B．若
满足
，则
也是等比数列

C．若
满足
，则
也是等比数列

D．若
满足
，则
也是等比数列

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11．二项式
的展开式中常数项等于___________．

气温（
）

18

13

10

-1



用电量（度）

24

34

38

64



12．某单位为了了解用电量度与气温
之间的关系，随机统计了某四天的用电量与当天气温，列表如下：

由表中数据得到回归直线方程
．据此预测当气温为
时，用电量为______（单位：度）．

已知函数
，
是区间
内任意两个实数，则事件
发生的概率为___________．

在
中，为
边上一点，若
是等边三角形，且
，则
的面积的最大值为___________．

若数列
满足“对任意正整数，
恒成立”，则称数列
为“差非增数列”．

给出下列数列
：

①
，②
，③
，④
，⑤
．

其中是“差非增数列”的有________（写出所有满足条件的数列的序号）．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（本小题满分13分）

已知向量
，
与
共线．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
在区间上
的最大值和最小值．

（本小题满分13分）

某学习兴趣小组开展“学生语文成绩与英语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和英语成绩进行统计，按优秀和不优秀进行分类．记集合A={语文成绩优秀的学生}，B={英语成绩优秀的学生}．如果用
表示有限集合M中元素的个数．已知
,
,
,其中U表示800名学生组成的全集．

（Ⅰ）是否有99．9%的把握认为“该校学生的语文成绩与英语成绩优秀与否有关系” ；

（Ⅱ）将上述调查所得的频率视为概率，从该校高二年级的学生成绩中，有放回地随机抽取3次，记所抽取的成绩中，语文英语两科成绩中至少有一科优秀的人数为，求的分布列和数学期望．

附：

参考数据：

0．025

0．010

0．005

0．001





5．024

6．635

7．879

10．828





18．（本小题满分13分）

如图，
是圆
的直径，
是圆
上异于
的一个动点，
垂直于圆
所在的平面，

DC∥EB，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）当三棱锥C-ADE体积最大时，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．

（本小题满分13分）

设椭圆C：
的离心率
，点M在椭圆C上，点M到椭圆C的两个焦点的距离之和是4．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若椭圆
的方程为
，椭圆
的方程为
，则称椭圆
是椭圆
的
倍相似椭圆．已知椭圆
是椭圆C的3倍相似椭圆．若椭圆C的任意一条切线
交椭圆
于M,N两点，O为坐标原点，试研究当切线
变化时
面积的变化情况，并给予证明．

20.（本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）若
在定义域内恒成立，求的取值范围；

（Ⅱ）当取（Ⅰ）中的最大值时，求函数
的最小值；

（Ⅲ）证明不等式
．

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

已知矩阵
，其中
．若点
在矩阵
的变换下得到点
．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若
，求

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C的极坐标方程为
．直线
的参数方程为
，曲线C与直线
一个交点的横坐标为
．

（Ⅰ）求的值及曲线
的参数方程；

（Ⅱ）求曲线
与直线
相交所成的弦的弦长．

（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲

已知关于的不等式
的解集为
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
的最大值，以及取得最大值时的值．

2015年泉州五中高三数学模拟考试参考答案

1~10 BACAC BBABD

11. 70 12. 68 13.
14.
15. ③④

16. 解：（Ⅰ）
，又∵
…5分

（Ⅱ）

…9分

∵
，

当
时，
，当
时，
…13分

17.解：（Ⅰ）由题意得列联表：

语文优秀

语文不优秀

总计



英语优秀

60

100

160



英语不优秀

140

500

640



总计

200

600

800



因为K2＝≈16.667＞10.828，

所以有99.9％的把握认为“该校学生的语文成绩与英语成绩优秀与否有关系”． …6分

（Ⅱ）由已知数据，语文、英语两科成绩至少一科为优秀的频率是．

则X～B(3，)，P(X＝k)＝C()k()8－k，k＝0，1，2，3．

X的分布列为

X

0

1

2

3





p













 E(X)＝3×＝． …13分

18. 解：（Ⅰ）∵DC⊥面ABC，∴DC⊥BC，又∵AB是
的直径，∴AC⊥BC

AC∩DC=C，
面ACD，∴BC⊥平面ACD

又∵DC//EB，DC=EB，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE//BC

∴DE⊥平面ACD …5分

（Ⅱ）