2015年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最后一卷”联考理科数学学科试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设集合
, 集合
，则
为( )

A．
B．
C．
D．

2.执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )

A．9 B．16 C．25 D．36

3．等差数列
中，
，则数列
的公差为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4.“
”是“
”的( )

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

5.已知直线
与幂函数
的图像将于
两点，且

则的值为（ ）.

A．
B．
C．
D．

6. 若某几何体的三视图(单位：
)如图所示，则该几何体的体积等于( 　)

A．
B．
C．
D．

7． 如图，四边形
为矩形，
，
，以为圆心，1为半径画圆，交线段
于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.已知半圆的直径
，
为圆心，
为半圆上不同于
的任意一点，若为半径
上的动点，则
的最小值是（ ）

Ａ．
? Ｂ.
Ｃ．
Ｄ.

9．设方程
与
的根分另为
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知函数
,
,若
,使
,则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）

11.复数
(i为虚数单位)的共轭复数是

12.若变量
满足约束条件
,则
的最大值是

13．

展开式中
项的系数490,则实数的值为 .

14.已知正项
，奇数项成公差为1的等差数列，当n为偶数时点
等于

15.平面内两定点M（0，-2）和N(0,2），动点P（x，y）满足
，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：

①m，使曲线E过坐标原点；

②对m，曲线E与x轴有三个交点；

③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；

④若P、M、N三点不共线，则△ PMN周长的最小值为2
＋4;

⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN的面积不大于m。

其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号）

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16．在
中,角
所对的边分别为
，
，
．

(Ⅰ)求角的大小；

（Ⅱ）若
，求函数
的单调递增区间

17．4月10日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求频率分布直方图中的值,试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；

（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；

（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为
，求
的分布列及数学期望．

（注：频率可以视为相应的概率）

18.如图,在四棱锥B-AA1C1C中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.

(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;

(Ⅱ)求二面角A1-BC1-C的余弦值;

(Ⅲ)证明:在线段上
存在点D,使得AD⊥A1B,并求
的值.

19.

19.已知椭圆C：
的一个焦点与短轴的两个端为的连线互相垂直，椭圆上的点到焦点的最大距离

（Ⅰ）求椭圆C的方程．

（Ⅱ）过
轴上一点
（
的直线
交椭圆C于A，B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线
如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T?若存在，求出的值及点T的坐标，若不存在，请说明理由.

20.已知函数

（Ⅰ）求函数
处的切线方程;

（Ⅱ）若为实数，函数
上的有极值，求的取值范围；

（Ⅲ）试问是否存在
，使得
恒成立？若存在，请写出
的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分14分）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．

(1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵A＝，B＝.

（Ⅰ）求满足条件AM＝B的矩阵M；

（Ⅱ）若矩阵M对应的变换将曲线C：x2＋y2＝1变换为曲线C′，求曲线C′的方程

(2)（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（为参数），在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线
的极坐标方程为
.

（Ⅰ）求直线
普通方程和曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点是曲线
上的一个动点，求它到直线
的距离的取值范围.

(3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲

设不等式
的解集与关于的不等式
的解集相同．

（Ⅰ）求，
的值；

（Ⅱ）求函数
的最大值，以及取得最大值时的值.

2015年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最后一卷”联考理科数学学科试卷答案

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
, 集合
, 则
为

A．
B．
C．
D．

2.执行如图所示的程序框图，输出的S值为( B )

A．9 B．16 C．25 D．36

3．等差数列
中，
，则数列
的公差为（B ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4.“
”是“
”的( B )

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

5.已知直线
与幂函数
的图像将于
两点，且
，则的值为（ C ）.

A．
B．
C．
D．

6. 若某几何体的三视图(单位：
)如图所示，则该几何体的体积等于(　B 　)

A．
B．
C．
D．

7． 如图，四边形
为矩形，
，
，以为圆心，为半径画圆，交线段
于，在圆弧
上任取一点，则直线
与线段
有公共点的概率为（ C ）

A．
B．
C．
D．

8.已知半圆的直径
，
为圆心，
为半圆上不同于
的任意一点，若为半径
上的动点，则
的最小值是( D )

Ａ．
? Ｂ.
Ｃ．
Ｄ.

9．设方程
与
的根分另为
，则（ A ）

A．
B．
C．
D．

10.已知函数
,