2015福建省高考压轴卷文科数学

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知复数
是纯虚数，则
（　　）

A． B．
C．
或 D．

2．已知集合
均为全集
的子集，且

,
,则
( )

　　　

　　

若
为非零实数，且
，则下列命题成立的是（ ）A．
B．
C．
D．

已知角的终边与单位圆
交于
,则
等于（ ）A．
B．
C．
D．1

5．将一个总体分为A, B, C三层,其个体数之比为523,若用分层抽样抽取容量为200的样本,则应从C中抽取的个体数是（ ）

A. 20 B. 40 C. 60 D. 80

6．投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为,又
表示集合的元素个数,
,则
的概率为 （ ）

A.
B.
C.
D.

7. 如图，
是半径为1的圆的直径，△ABC是边长为1的正三角形，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．1 D．2

已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判

断框内①处应填 ( )

A．2 B．3

C．4 D．5

9．如图,在正方体
中,点E在
上且
,点F在AC上且

, 则
与
的位置关系是( )

A. 相交不垂直 B. 相交垂直

C. 异面 D. 平行

10．抛物线C1：x2＝2py（p＞0）的焦点与双曲线C2：－y2＝1的左焦点的连线交C1于第二象限内的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝（ ）

A． B． C． D．

11．若x,y满足
仅在点（1，0）处取得最小值，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D.

12．已知函数
，如果在区间
上存在
个不同的数
使得比值
成立，则的取值构成的集合是（ ） A．
B．
C．
D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在相应横线上.）

13．已知等差数列
的前项和为
，则使得
最大的序号的值为________.

14.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是_________.

15.圆心在曲线
上，且与直线
相切的面积最小的圆的方程是_____________.

16．如果对任意一个三角形，只要它的三边长，，都在函数
的定义域内，就有
，
，
也是某个三角形的三边长，则称
为“Л型函数”．则下列函数：

①
； ②

； ③

，

是“Л型函数”的序号为　 ．

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税. 检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）.

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为
.

（Ⅰ）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过
的概率是多少？

（Ⅱ）求表中的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性.

18.（本小题满分12分）

正项等比数列
的前项和为
，
，且
的等差中项为
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，数列
的前项和为
，求证：
.

19.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，若角的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=
(≥0).

(1)求
的值；

(2)若点P，Q分别是角始边、终边上的动点，且PQ=4，求△POQ面积最大时，点P，Q的坐标．

20.（本小题满分12分）如图,在四棱锥
中,底面ABCD是边长为3的正方形,平面PCD⊥底面ABCD,E是PC的中点.

(I)求证
;

(II)若
,求证平面
平面
;

(III)若侧棱
,PD=4.求
以PA为轴旋转所围成的几何体体积.

21.（本小题满分12分）已知椭圆
的离心率为
，其左，右焦点分别为
，
，点是坐标平面内一点，且
，
，其中
为坐标原点.

(1)求椭圆
的方程；

(2)过点
，且斜率为
的动直线
交椭圆于
两点，在轴上是否存在定点
，使以
为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由

22.（本小题满分14分）已知函数

为自然对数的底数）．（Ⅰ）求曲线
在
处的切线方程；（Ⅱ）若是
的一个极值点，且点
，
满足条件：

.（ⅰ）求的值；（ⅱ）若点
是三个不同的点， 判断
三点是否可以构成直角三角形？请说明理由。

2015福建省高考压轴卷文科数学

答案

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

CADAC BAADD CB

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在相应横线上.）

13. 7或8 14. 5 15.
16. ①③

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 解：（1）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果：

（80，110），（80，120），（80，140），（80，150），（110，120），（110，140），（110，150），

（120，140），（120，150），（140，150）。 …………2分

设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：

（80，140），（80，150），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）

∴

答：至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率为0.7. …………6分

（2）由题可知，
， 解得
…………7分

又
…………8分

∴
，

，………11分

∵

∴乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好。 …………12分

18. 解：（1）设等比数列
的公比为
，

由题意，得
，解得
， 所以
. …………6分

（2）因为
， 所以
，

，

故
. 因为
， 所以
. …………12分

19. (1 )由射线
的方程为
，可得
， …………4分

． …………6分

(2) 设

在
中， 因为
， …………7分

　　即
，所以
≤4． …………8分

∴
．当且仅当
，即
取得等号． …………10分

所以
面积最大时，点
的坐标分别为
． …………12分

20. 解 (1)连接AC交BD于O, 连接EO.

∵ABCD是正方形, ∴O为AC中点, 已知E为PC的中点,

∴OE//PA. ………2分

又∵OE平面BDE, PA平面BDE, ∴PA//平面BDE. …………3分

(2)在
中,
, 即DP⊥PC. ……4分

又已知 平面PCD⊥底面ABCD, 平面PCD∩平面ABCD=DC BC⊥DC;

∴BC⊥平面PDC, PD平面PDC, ∴PD⊥BC, ………… 6分

BC与PC相交且在平面PBC内.

∴PD⊥平面PCB, PD平面PDA, ∴平面PDA⊥平面PCB. ………… 8分

(3)过D作PA的垂线.垂足为H,则几何体为以DH为半径,分别以PH,AH为高的两个圆锥

的组合体. …………9分

侧棱PD⊥底面ABCD, ∴PD⊥DA, PD=4, DA=DC=3, ∴PA=5

,…………10分

…………12分

21. 解：(1)
，设
，又
，
，

，
，

，从而

椭圆
的方程为
…………4分

(2)设
代入椭圆整理得
，
成立.

记
，
，则
，
，

设存在定点
，

,

存在定点
满足要求. …………12分

22.（Ⅰ）
，
，又
，所以曲线
在

处的切线方程为
，即
． …………4分（Ⅱ）（ⅰ）对于
，定义域为
． 当
时，
，
，∴
； 当
时，
；当
时，
，
， ∴
 所以
存在唯一的极值点，∴
，则点为
…………8分

（ⅱ）若
，则
，与条件
不符，

从而得
．同理可得
．若
，则
，与条件
不符，从而得
．

由上可得点，，两两不重合．

从而
，点，，可构成直角三角形． …………14分