2015年南平市普通高中毕业班质量检查理科数学

参考公式：

样本数据x1，x2，…，xn的标准差 锥体体积公式

s=
　　V=
Sh

其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题　共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知
R，i为虚数单位，且

i，则
i
的值为

A．2 B．-2i C．-4 D．2i

2．已知直线
与圆
相交
两点，则

A．
B．
C．
D．

3．等比数列
的各项均为正数，且
，则
+
+…+
=

A．10 B． 8 C． 6 D． 4

4．当为锐角时，“
”是“
”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5．已知向量
，

. 若
，

则实数的值为

A．
B．

C．3 D．

6．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值

输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y

值相等，则这样的x值的个数是

A．4 B．2

C．1 D．3

7．右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是

A．
　　 B．
　　

C．
D．

8．已知
为坐标原点，点的坐标是
，点
在不等式组
所确定的平面区域内（包括边界）运动，则
的取值范围是

A．
B．

C．
D．

9．已知P是抛物线
上的一个动点，则P到直线
：
和
：
的距离之和的最小值是

A．1 B．2 C．3 D．4

10．已知
，函数
有两个极值点
，

，则方程
的实根个数

A．4 B．3 C．2 D．0

第Ⅱ卷（非选择题　共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．

11．为估计图中阴影部分的面积，现采用随机模拟的方法，从边长为1的正方形
中产生200个点，经统计，其中落入阴影部分的点共有134个，则估计阴影部分的面积是________．

12．已知
是第三象限角，则
=________．

13．
展开式中
的系数是________．

14．已知
，则
的最小值为________．

15．若实数
成等差数列，点
在动直线
上的射影为点
，

已知点
，则线段
长度的最大值与最小值的和为________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本题满分13分）

已知函数
，
．

(Ⅰ) 求函数
的单调递增区间；

(Ⅱ) 在
中，角
所对边的长分别是
，若
，
，

，求
的面积．

17．（本题满分13分）

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

(Ⅰ) 求取出的4个球均为黑球的概率；

(Ⅱ) 求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

(Ⅲ) 设
为取出的4个球中红球的个数，求
的分布列和数学期望．

18．（本题满分13分）

如图，在四面体P-ABC中，PA⊥面ACB，BC⊥AC，

M是PA的中点，E是BM的中点，AC=2，PA=4，

F是线段PC上的点，且EF∥面ACB．

(Ⅰ) 求证：
；

(Ⅱ) 求
；

(Ⅲ) 若异面直线EF与CA所成角为45°，

求EF与面PAB所成角
的正弦值.

19．（本题满分13分）

已知椭圆Γ的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率
，点
在

椭圆Γ上.

(Ⅰ) 求椭圆Γ的方程；

(Ⅱ) 过Γ的右焦点作两条垂直的弦
，设
的中点分别为
，

证明：直线
必过定点，并求此定点.

20．（本题满分14分）

已知函数
（是自然对数的底数， =2.71828…）的图像在
处的切线方程为
.

(Ⅰ) 求
的值；

(Ⅱ) 若
，

求函数
的单调区间；

(Ⅲ) 若正项数列
满足
，证明：数列
是递减数列.

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

已知矩阵
，若向量
在矩阵M的变换下得到向量
.

(Ⅰ) 求矩阵M；

(Ⅱ) 设矩阵
，求直线
在矩阵NM的对应变换作用下得到的曲线C的方程.

（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，

曲线
：
，曲线
：
，（为参数）.

(Ⅰ) 求曲线
的直角坐标方程与曲线
的普通方程；

(Ⅱ) 求曲线
上的点到曲线
上的点的最小距离.

（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲

已知函数
.

(Ⅰ) 解不等式
≥1；

(Ⅱ) 若
恒成立，求实数的取值范围.

2015年南平市普通高中毕业班质量检查

理科数学试题参考答案及评分标准

说明：

1、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．

1．B； 2．B； 3．A； 4．C； 5．D； 6．D； 7．A； 8．C； 9．C ； 10．B．

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．

11．
； 12．7； 13．135； 14．
； 15．10.

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．本题满分13分．

解：(Ⅰ)∵
，
)

………………… 1分

∴
. ………………… 3分

由
，

解得
. …………………… 5分

∴函数
的单调递增区间是
.……………………6分

(Ⅱ)∵在
中，
，

∴
解得
.……………………8分

又
，∴
. …………………… 9分

依据正弦定理，有
.……………………10分

∴
. ……………………11分

∴
. ……………………13分

17．本题满分13分．

解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立，

,
. …………………… 2分

取出的4个球均为黑球的概率为
……………………3分

（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，且
,
……………………5分

所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为

. …………………… 6分

（Ⅲ）设
可能的取值为0,1,2,3.

由（Ⅰ）、（Ⅱ）得
,
,.

,
……………10分

的分布列为

0

1

2

3



P













…………………11分

∴
的数学期望
………………… 13分

18．本题满分13分．

解：（Ⅰ）
，
，

……………………1分

又
，

……………………2分

而

……………………3分

（Ⅱ）解法一：如图以C为原点，CA、CB所在直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则
、
、
、
……………4分

设
，
,可得
，
, 则
……………………5分

因为
是
的一个法向量，

……………………6分

即
……………………7分

(Ⅲ) 解法一：由（Ⅱ）知
，

………………8分

解得
……………………9分

由此
，
,又
、

,

设面PAB的一个法向量为

由
可得
……………………11分

即
，可取
……………………12分

EF与面PAB所成角
的正弦值：
…………13分

（Ⅱ）解法二：如图以A为原点，过A且与CB平行的直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，则
、
、

……………………4分

设
,
,可得：

,

则
………………5分

因为
是
的一个法向量，

……………………6分

即
……………………7分

(Ⅲ) 解法二：由（Ⅱ）知
，

……………………8分

解得
……………………9分

由此
，

又
、
、
,

设面PAB的一个法向量为

由
可得
，……………………11分

即
， 可取
……………………12分

EF与面PAB所成角
的正弦值
……………13分

（Ⅱ）解法三：取MA中点G，连结EG，FG，

∵E是MB中点，∴EG是△MAB的中位线．

∴

……………………4分

而

∴EG∥面ABC……………………5分

又EF∥面ABC,

∴面EFG∥面ABC, 而

∴FG∥面ABC……………………6分

∵

∴FG∥AC,
……………………7分

19．本题满分13分．

解：(Ⅰ)由题意可设所求椭圆方程为
.

则
……………………3分

解得

即椭圆Γ的方程为
.……………………5分

(Ⅱ)由题意得
.

（1）当弦
的斜率均存在时，

设
的斜率为
，则
的斜率为
.……………………6分

令
，线段
中点
.

将直线
方程代入椭圆方程
,

并化简得
……………………7分

则
,
,于是,
.因为
，所以，将点
坐标中的
换为
，

即得点
…………………9分

① 当
时，直线
的方程为

令
得
，则直线
过定点
……………………10分

② 当
时，易得直线
的方程
,也过点
……………………11分

（2）当弦
的斜率不存在时，易知，直线
为轴，也过点

综上，直线
必过定点
……………………13分

20．本题满分14分．

解：（Ⅰ）由题意得
，则
，……………………2分

解得
.……………………3分

（Ⅱ）由题意得
,
.

……………………5分

（1）当
时, 令
，并注意到函数的定义域