2015年泉州五中高三数学模拟考试文 科 数 学

命题：徐明杰 审题：张小蓉

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式

s=
　　　　V=
Sh

其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1． 已知集合
（其中为虚数单位），
，
，则复数为

A．
B． C．
D．

2．有编号为1，2，…，1000的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品作为样品进行检验。下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是

A B C D

3．若变量，满足约束条件
，则
的最大值为 　　

A．
B．
C．
D．

4．某班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示。若高校某专业对视力的要求在
以上，则该班学生中能报高校该专业的人数为

A．10 B．20 C．8 D．16

5．函数
的零点所在的区间是

A．
B．
C．
D．

6．已知圆
与直线
及
都相切，圆心在直线
上，则圆
的方程为

A．
B．

C．
D．

7．已知
表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“
” 是“
”的

A．充分而不必条件 B． 必要而不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件

8．若
，且
，则
的最大值为

A．
B． C． D．

9．设函数
，
．若在区间
上随机取一个数，
的概率为
，则的值为

A． B．
C． D．

10．已知
中，内角, ,
所对的边长分别为,
,。若
，
，
，则
的面积等于

A．
B．
C．
D．

11．过双曲线
的左焦点
作圆
的切线,切点为, 延长
交抛物线
于点
为坐标原点,若
,则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

12．对于函数
，若存在区间
，使得
，则称函数
为“可等域函数”，区间为函数
的一个“可等域区间”．给出下列?4个函数：

①
，②
，③
，④
．

其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为

A．①②③ B．②③ C． ①③ D． ②③④

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．

13．已知
，则
．

14．设向量
，
，则向量
在向量
方向上的投影为 ．

15．已知函数
满足：x4,则
；当x＜4时
=
，则

．

16．点集
的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积

是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

从一批草莓中，随机抽取个，其重量（单位：克）的频率分布表如下：

分组（重量）











频数（个）











已知从个草莓中随机抽取一个，抽到重量在
的草莓的概率为
．

（Ⅰ）求出，的值；

（Ⅱ）用分层抽样的方法从重量在
和
的草莓中共抽取
个，再从这
个草莓中任取个，求重量在
和
中各有个的概率．

18．（本小题满分12分）

函数
（其中
）的图象如图所示，把函数
的图象向右平移
个单位，再向上平移1个单位，得到函数
的图象．

（Ⅰ）求函数
的表达式；

（Ⅱ）若
时，函数
的图象与直线
有两个不同的交点，求实数的取值范围．

18．（本小题满分12分）

设
是等差数列，
是各项都为正数的等比数列，且
，
，
．

（Ⅰ）求
，
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前项和
．

20．（本小题满分1?2分）

如图，梯形
中，
于,
于,且

，现将
，
分别沿
与
翻折，使点与点重合．

（Ⅰ）设面
与面
相交于直线
，求证：
；

（Ⅱ）试类比求解三角形的内切圆（与三角形各边都相切）半径的方法，求出四棱锥
的内切球（与四棱锥各个面都相切）的半径．

21．（本小题满分12分）

设是圆

上的动点，点是点在轴上的投影，
为
上一点，且

．

（Ⅰ）求证：点
的轨迹是椭圆；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中椭圆的左焦点为，过点的直线
交椭圆于
两点，
为线段
的中点，当三角形
（
为坐标原点）的面积最大时，求直线
的方程．

22． （本小题满分14分）

已知函数
，

（Ⅰ）求函数
的单调区间，并判断是否有极值；

（Ⅱ）若对任意的
，恒有
成立，求
的取值范围；

（Ⅲ）证明：
（
）．

2015年泉州五中高三数学模拟考试文科数学答案

一、选择题

二．填空题

13．
14．
15．
16．

三．解答题

17．（Ⅰ）依题意可得，
，从而得
.

（Ⅱ）若采用分层抽样的方法从重量在
和
的草莓中共抽取5个，则重量在
的个数为
；记为，，

在
的个数为
；记为，
，，

从抽出的5个草莓中，任取个共有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
10种情况．

其中符合“重量在
和
中各有一个”的情况共有
，
，
，
，
，
6种．

设事件表示“抽出的5个草莓中，任取个，重量在
和
中各有一个”，则
．

答：从抽出的5个草莓中，任取个，重量在
和
中各有一个的概率为
．

18．（Ⅰ）
（Ⅱ）

19．（Ⅰ）
（Ⅱ）

20．（Ⅰ） （Ⅱ）

21．
其中

22．（Ⅰ）
，（
），
，

即
，当
，
，

所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，

在
处取得极大值，极大值为
，无极小值．……………………………４分

（Ⅱ）方法1：因为
，

对任意的
恒成立,由（1）知
，

则有
，所以
．……………………………………………9分

方法2：记
，
，

,
，
，由
得
即

上为增函数；

　

上为增函数；在
上为减函数．

因为对
　即要求
恒成立,

所以
符合且
　

得
． ………………………………………………………………
分

（Ⅲ）
，由（Ⅰ）知
，

则
（当且仅当
取等号）．

令
（
），即
，则有

　　

则得证 ……………………………………………………………… 14分