2015年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最后一卷”联考文科数学学科试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 设集合
，则

A．{1,4} B．{1,5} C．{2,3} D．{3,4}

2．复数的共轭复数是

A．－i B.i C．－i D．i

3．为了了解所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是

A．总体 B．个体是每一个零件 C．总体的一个样本 D．样本容量

4．“
”是“
”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3

4

5

6

7





4

2.5

0. 5

0.5

2



5、根据如下样本数据得到的回归方程为

.若
，则每增加1个单位，

就

A．增加
个单位； B．减少
个单位；

C．增加
个单位； D．减少
个单位.

6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是

A．－1 B. C. D．4

7．将函数
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到

原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是

A．
B．
C．
D．

8．已知某锥体的正视图和侧视图如右图所示，其体积为
，

则该锥体的俯视图可以是

A． B． C． D．

9．函数
（其中
）的图象如右图所示，则函数
的大致图象是

10．若直线
上存在点
满足约束条件
则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．

11. 已知双曲线
的左右焦点分别为
，过
作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若△
的面积为
，则双曲线的离心率为

A.
B.
C.2 D.3

12．已知M是
内一点，且
，若
，
的面积分别为
则
的最大值是

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．

13．如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得

落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分

的面积约为

14．已知函数
若
，则的取值范围是 .

15．若点P是椭圆
上的动点,则P到直线
的距离的最大值是 .

16．数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：

，，，，，，，，，，…，，，…，，…，有如下运算和结论：

①a24＝；

②数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列；

③数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和为Tn＝；

④若存在正整数k，使
，则
.

其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)

三．解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17. （本题满分12分）

已知数列
是公差不为
的等差数列，
，且
，
，
成等比数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前项和
.

18. （本题满分12分）

某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．

（Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？

（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1-4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．

图1-4

(Ⅲ)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.010

0.005



k0

2.706

3.841

6.635

7.879



附：K2＝

19．（本题满分12分）

已知向量
，函数
．

（Ⅰ）若
在区间
上有三个零点，求的值；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为
，
，△ABC的面积
，若
且
，求
的值．

20．（本题满分12分）

如图，四棱柱
中，
底面
，底面

是梯形，
，
，

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）在线段
上是否存在一点，使
平面
. 若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.

21．（本题满分12分）

已知顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线的焦点与双曲线
的右顶点重合。

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）过点
的动直线交抛物线于
两点，以线段
为直径作圆，试探究是否存在实数，使得直线
总是与圆相切，如果存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由。

22．（本题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）求函数
处的切线斜率；

（Ⅱ）若为实数，函数
上的有极值，求的取值范围；

（Ⅲ）试问是否存在
，使得
恒成立？若存在，请写出
的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。

2015年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最后一卷”联考文科数学学科试卷答案

一．选择题：ACCBB DCDBA AB

二．填空题：4.6 ；
；
； ①③④

17.解： （Ⅰ）因为数列
是等差数列，设公差为
，

所以

…………………… 2分

因为
，
，
成等比数列，

所以
…………………… 3分

即

所以

所以
，或
…………………… 4分

因为
，

所以
…………………… 5分

所以
…………………… 6分

(Ⅱ) 因为
，

所以
…………………… 7分

所以

…………………… 10分

所以数列
的前项和
…………………… 12分

18．解： (1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．

(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.

(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：

男生

女生

总计



每周平均体育运动时间不超过4小时

45

30

75



 每周平均体育运动时间超过4小时

165

60

225



总计

210

90

300



结合列联表可算得K2＝＝≈4.762>3.841.

所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

19.解：（Ⅰ）

……3分

因为
，所以
………………………4分.

因为
在区间
上有三个零点，即
在
的图像与轴有三个不同的交点，所以
， …………….6分

（Ⅱ）根据题意
且
，即
，所以
（k∈Z），

因为
，所以
．

因为
，所以
，

根据余弦定理
，得
，

所以
，所以
． 12分

20.证明：（Ⅰ）因为
底面
， 所以
底面
，

因为
底面
，

所以
…………………… 2分

因为底面
是梯形，
，
，

因为
，所以
，

所以
，

所以在
中，

所以

所以
…………………… 4分

又因为
所以
平面

因为
平面
，

所以平面
平面
…………………… 6分

（Ⅱ）存在点是
的中点，使
平面
……………………8分

证明如下：取线段
的中点为点，连结
,

所以
，且

因为
，

所以
，且

所以四边形
是平行四边形. ……………………10分

所以

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
…………………… 12分

2013年南侨中学、永春三中、南安三中、永春侨中、荷山中学

高中毕业班“最后一卷”联考

数学(文)答题卡

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案



























 二、填空题：（本大题共4题，每小题4分，共16分）

13． 14．

15． 16．

三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题12分）

18．（本小题12分）

19．（本小题12分）

20．（本小题12分）

21．（本小题12分）

22．（本小题14分）