鄂州高中2015年高三年级第三次模拟考试数学（理工类）

本试题卷共5页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1. 答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 非选择题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4. 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。

5. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

2．若
,其中、

,是虚数单位,则

A.
B. 1 C.
. D. 3

3．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为

A．
B．
C．
D．

4．已知
，则
展开式中，的一次项系数为

A．
B．
C．
D．

5．已知不等式组
表示平面区域,过区域中的任意一个点,作圆
的两条切线且切点分别为
,当
最大时,
的值为

A． B．
C．
D．

6．如图所示的程序框图表示求算式“
”的值，则

判断框内可以填入

A．
B．
C．
D．

7．已知
和是两个分类变量，由公式
算出
的观测值
约为

根据下面的临界值表可推断

0.10

0．05

0.025

0．010

0.005

0．001





2.706

3．841

5.024

6.635

7.879

10．828



A.推断“分类变量
和没有关系”犯错误的概率上界为0.010

B.推断“分类变量
和有关系”犯错误的概率上界为0.010

C.有至少99%的把握认为分类变量
和没有关系

D.有至多99%的把握认为分类变量
和有关系

8．已知函数
，若是从1,2,3三个数中任取的一个数，是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为

A．
B．
C．
D．

9．抛物线
的焦点为，准线为
，
是抛物线上的两个动点，且满足
．设线段
的中点
在
上的投影为
，则
的最大值是

A．
B．
C．
D．

10．对定义在
上，并且同时满足以下两个条件的函数
称为
函数：

（i）对任意的
，恒有
；

（ii）当
，
，
时，总有
成立．

则下列四个函数中不是
函数的个数是（ ）

①
②
③
④

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题:本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模凌两可均不得分.

（一）必考题（11—14题）

11．设
为单位向量，其中
，且
在
上的投影为2，则
与
的夹角为 ．

12．设随机变量
，则
______.

13．设等差数列
满足
,
,
的前项和
的最大值为
,则
=__________．

14．在平面直角坐标系
中，圆
：
，圆
：
．若圆
上存在一点，使得过点可作一条射线与圆
依次交于点，，满足
，则半径r的取值范围是 ．

（二）选考题（）

15．（选修4-1：几何证明选讲选）

如图，圆
的直径
，直线
与圆
相切于点
，
于点D，若
，设
，则
______．

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）

在极坐标中，已知点为方程
所表示的曲线上一动点，点
的坐标为
，则
的最小值为____________.

三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分11分）

如图所示，在四边形
中，
，且
，
，
.

（1）求
的面积；

（2）若
，求
的长.

18. （本小题满分12分）

设数列
的前项和为
已知

（I）设
，证明数列
是等比数列

（II）求数列
的通项公式。

19．（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABB1A1⊥底面ABC，
，∠A1AB＝120°，D、E分别是BC、A1C1的中点．

（Ⅰ）试在棱AB上找一点F，使DE∥平面A1CF；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角A－A1C－F的余弦值．

20．（本小题满分12分）

据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：

态度

调查人群

应该取消

应该保留

无所谓



在校学生

2100人

120人

人



社会人士

600人

人

人





（1）已知在全体样本中随机抽取人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为
，现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取
人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取
人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数
的分布列和数学期望.

21．（本小题满分15分）

设椭圆


的左、右焦点分别为
，
，上顶点为，过与
垂直的直线交轴负半轴于
点，且
．

（Ⅰ）求椭圆
的离心率；

（Ⅱ）若过、
、
三点的圆恰好与直线
相切，求椭圆
的方程；

（Ⅲ）过
的直线
与（Ⅱ）中椭圆交于不同的两点
、
，则
的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

22．(本小题满分l4分)

已知函数

(I)设函数
，求
的单调区间与极值；

(Ⅱ)设
，解关于的方程

(Ⅲ)试比较
与
的大小.