2015年全国高等学校招生统一考试汉阳一中仿真模拟（二）数学（理工类）试题

★ 祝考试顺利 ★

考试时间：2015年5月21日下午15:00-17:00 试卷满分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、已知是虚数单位，则复数
的虚部是( )

A. 1 B. C.
D. 0

2、下列四个结论：①若
，则
恒成立；

　　②命题“若
”的逆命题为“若
”；

　　③“命题
为真”是“命题
为真”的充分不必要条件；

　　④命题“
”的否定是“
”．

　　其中正确结论的个数是（ ）

　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3、已知函数
，其中
，
，则函数
在上是增函数的概率为( )

A．
B．
C．
D．

4、已知m，n是两条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

A.若
B.若

C.若
D.若

5、设
是
的展开式中项的系数（
），若
，则
的最大值是( )

A．
B．
C．
D．

6、如图所示的程序框图的运行结果为
，那么判断框中应填入的关于的条件是( )

A．
B．
C．
D．

7、对于函数
，下列说法正确的是（ ）

A．
是奇函数且在（
）上递增 B．
是奇函数且在（
）上递减

C．
是偶函数且在（
）上递增 D．
是偶函数且在（
）上递减

8、如图，用一边长为
的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为
的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为( )

A．
B．

C．
D．

9、点
为双曲线
的右焦点，点为双曲线左支上一点，线段
与圆
相切于点Q，且
，则双曲线的离心率等于（ ）

A．2 B．
C．
D．

10、已知函数
在
的最小值为
，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

(一)必考题（11-14题）

11、已知向量
满足
，且
，则与
的夹角为

12、若圆C：
＋2－4＋3＝0关于直线
对称，则由点
向圆所作的切线长的最小值是_____________。

13、在小语种自主招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中韩语2名，日语2名，俄语1名．并且日语和韩语都要求必须有女生参加．学校通过选拔定下3女2男共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 _____________种；

14、在三棱锥
中，底面
为边长为的正三角形，顶点在底面
上的射影为
的中心， 若为
的中点，且直线
与底面
所成角的正切值为
，则三棱锥
外接球的表面积为________．

（二）选做题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果计分.）

15．(几何证明选讲选做题) 如图,圆
上一点
在直线
上的射影为,

点在半径
上的射影为.若
,则
的值为________

16．(极坐标与参数方程选做题) 在直角坐标系
中,以原点
为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为
的直线与曲线
(为参数)相交于
两点,则

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (本小题满分12分)已知
,
,
，其中，
，
．且满足
，
．（Ⅰ）求，
的值；（Ⅱ）若关于的方程
在区间
上总有实数解，求实数
的取值范围．

18．（本题满分12分）如图，已知正三棱柱
的各棱长都是4，是
的中点，动点在侧棱
上，且不与点
重合．

（Ⅰ）当
时，求证：
；

（Ⅱ）设二面角
的大小为
，求
的最小值．

19．（本题满分12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）

20．（本题满分12分）设数列
，
，已知
，
，
，
（
）． （Ⅰ）设
,求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求证：对任意
，
为定值；

（Ⅲ）设
为数列
的前项和，若对任意
，都有
，求实数的取值范围．

21．（本题满分13分）如图，在以点
为圆心，
为直径的半圆
中，
，是半圆弧上一点，
，曲线
是满足
为定值的动点
的轨迹，且曲线
过点.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线
的方程；

（Ⅱ）设过点的直线
与曲线
相交于不同的两点
.若
的面积不小于2
，求直线
斜率的取值范围.

22．（本题满分14分）已知函数
.

(Ⅰ) 若直线
与
的反函数
的图像相切, 求实数
的值;

（注：指数函数与对数函数互为反函数）

(Ⅱ) 若函数
只有一个零点，求实数的值；

(Ⅲ) 设
, 比较
与
的大小, 并说明理由.

2015届高三年级模拟仿真考试（二）数学（理科）答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



A

B

C

D

B

A

D

C

D

D



11、п/3 12、4 13、24 14、
15、8 16、16

17. 解：（Ⅰ）由题意知，
=
，

由
得
，

∵f′（x）=asin2x+bcos2x，又
，∴
，∴a=2．……………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
=
，

∵
，
，

∴
，f（x）∈[0，3]． …………………9分

又∵
有解，即f（x）=﹣log3k有解，

∴﹣3≤log3k≤0，解得
，

∴实数k的取值范围为
．…………………12分

18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱
的各棱长都是4，是
的中点，动点在侧棱CC1上，且不与点
重合．

(1)当
时，求证：
；

(2)设二面角
的大小为
，求
的最小值．

解：法一：过E作EN⊥AC于N，连接EF.

如图1，连接NF、AC1，

由直棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面A1C，

又底面ABC∩侧面A1C＝AC，且EN?底面ABC，所以EN⊥侧面A1C.NF为EF在侧面A1C内的射影，

在Rt△CNE中，CN＝CEcos60°＝1.

则由＝＝，得NF∥AC1，AC1⊥A1C，故NF⊥A1C.

由三垂线定理知EF⊥A1C……………（6分）

如图2，连接AF，过N作NM⊥AF于M，连接ME.

由(1)知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF，

所以∠EMN是二面角C－AF－E的平面角，即∠EMN＝θ.

设∠FAC＝α，则0°＜α≤45°.在Rt△CNE中，NE＝EC·sin60°＝，

在Rt△AMN中，MN＝AN·sinα＝3sinα，

故tanθ＝＝.又0°＜α≤45°，∴0＜sinα≤.

故当sinα＝，即当α＝45°时，tanθ达到最小值，tanθ＝×＝，此时F与C1重合．….（12分）

法二：(1)建立如图3所示的空间直角坐标系，连接EF，AF，

则由已知可得A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,4)，E(，3,0)，F(0,4,1)，

于是CA1―→＝(0，－4,4)，EF―→＝(－，1,1)．

则CA1―→·EF―→＝(0，－4,4)·(－，1,1)＝0－4＋4＝0，故EF⊥A1C. …….（6分）

(2)设CF＝λ，(0＜λ≤4)，平面AEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，则由(1)得F(0,4，λ)．

AE―→＝(，3,0)，AF―→＝(0,4，λ)，于是由m⊥AE―→，m⊥AF―→ 可得即取m＝(λ，－λ，4)．又由直三棱柱的性质可取侧面A1C的一个法向量为n＝(1,0,0)，

于是由θ为锐角可得cosθ＝＝，

sinθ＝，所以tanθ＝＝.由0＜λ≤4，得≥，即tanθ≥ ＝.

故当λ＝4，即点F与点C1重合时，tanθ取得最小值……………..(12分)

19.解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；…………2分

②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为

1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）

………………………………………………………………5分

③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；

………………………………………………………………8分

④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.

……………………………………………………………11分

综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.

……………………………………………………………12分

20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）所以
，
，

,即
，　　又
, 故数列
是首项为，公比为
的等比数列，

所以
． …………………………………………………3分

（Ⅱ）解：
，

所以
，

而
，所以由上述递推关系可得，当
时，
恒成立，

即
恒为定值8． ……………………6分

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知
，所以
，所以
， ……………8分

所以
，

由
得
，

因为
，所以
， ………………9分

当为奇数时，
随的增大而增大，且
，

当为偶数时，
随的增大而减小，且
，

所以，
的最大值为
，
的最小值为．11分

由
，得
，解得
．

所以，所求实数的取值范围是
．……………………………………12分

21、

5分

9分

22、

……………………………………………………3分

（2）设
，

则
在
上
，在
上
，
在
处极大值
。
在
上
，在
上
，
在
处极小值
函数
只有一个零点，
=
只有一个零点，依题意，
=