2015年4月湖北省七市(州)教科研协作体高三联合考试

数学(理工类)参考答案及评分标准

说明

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

一．选择题：A卷：DBDCA　CDBCA

　　　　　　B卷：ABDBA　CDCAA

二．填空题：11．
　　12．6　　13．
　14．(Ⅰ)(4，2)　(Ⅱ)
(或填
)15．
16．

三．解答题：

17．(Ⅰ)解：
2分由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为
，所以
3分令
，解得
(k∈Z) 5分又
，所以所求单调增区间为
6分

(Ⅱ)解：
或

或
(k∈Z)，又
，故
8分∵
，∴
10分由正弦定理得
，∴
12分

18．(Ⅰ)解：当n = 1时，
1分当n≥2时，
，与已知式作差得
，即
欲使{an}为等比数列，则
，又
，∴
5分故数列{an}是以
为首项，2为公比的等比数列，所以
6分

(Ⅱ)解：
，
若
，
9分若
,
，∴
12分

19．(Ⅰ)证：由于C是以AB为直径的圆上一点，故AC⊥BC又SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC

∵
，∴BC⊥平面SAC，BC⊥SA 2分O、M分别为AB、SB的中点，故OM平行于SA∴OM⊥BC 4分

(Ⅱ)解：四面体S－ABC的体积
当且仅当
时取得最大值 6分方法一取BC的中点N，连接MN、AN，则MN与SC平行，MN⊥平面ABC∴
，
9分作CH⊥SA垂足为H，连接BH，由(Ⅰ)知BC⊥SA，∴SA⊥平面BCH，BH⊥SA故
，在
中，
,
12分

方法二以
分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，则C(0，0，0)，A(
，0，0)，B(0，
，0)，S(0，0，2)进而M(0，
，1)，

是平面ABC的一个法向量，故
，
9分设v = (x，y，z)是平面SAB的一个法向量，则
,即
故可取
，由（1）知，
是平面SAC的一个法向量故
12分

20．(Ⅰ)解：设所取三个球恰有两个是红球为事件A，则事件A包含两类基本事件：父亲取出两个红球，儿子取出一个不是红球，其概率为
；父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红色其概率为
故
4分

(Ⅱ)解：X可以取180，90，60，0，取各个值得概率分别为：

8分所求分布列为
9分(Ⅲ)解：由二项分布的定义知，三次摸奖中恰好获得60个积分的次数
，
，故所求概率为
12分

21．(Ⅰ)解：设T(x，y)，则
，化简得
又A、B的坐标
、(2，0)也符合上式故曲线

3分当
时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，焦点为
4分当
时，曲线C是焦点在y纵轴上的椭圆，焦点为
5分

(Ⅱ)解：由于
，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，其焦点为
，椭圆的长轴端点到同侧焦点的距离，是椭圆上的点到焦点的最小距离故
，
，曲线的方程为
6分(ⅰ)由联立
解得
或
当
时，
，解得P(4，3) 当
时，由对称性知，P(4，－3)所以点P坐标为(4，3)或(4，－3) 8分(ⅱ)由(ⅰ)知，若存在，直线l1只能是
9分以下证明当m变化时，点P总在直线
上．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立
及
，消去x得：
，
直线
10分消去y得
以下只需证明
※对于m∈R恒成立而
所以※式恒成立，即点横坐标总是，点总在直线
上故存在直线l1：
，使P总在直线l1上． 13分

22．(Ⅰ)解：当x≥0时，
，
，
在
递增当
时，
，
，f (x)递减，
，f (x)递增；故
在
，
递增，
递减，（不必说明连续性）故
． 4分

(Ⅱ)解：即讨论
的零点的个数，
，故必有一个零点为
. ①当
时，
，
(ⅰ)若a≤1，则
，
，
在
递增，
，故此时
在
无零点； 5分(ⅱ)若a > 1，
在
递增，
，
且
时，
，则
使
进而
在
递减，在
递增，
，由指数、对数函数的增长率知，
时
，
在
上有一个零点，在
无零点，故
在
有一个零点 7分②当
时，

，设
，
对
恒成立，故
在
递增，
，且
时，
；(ⅰ)若
，即
，则
，故
在
递减，所以
，
在
无零点； 8分(ⅱ)若
，即
，则
使
，进而
在
递减，在
递增，
且
时，
，
在
上有一个零点，在
无零点，故
在
有一个零点 10分综合①②，当
时有一个公共点；当
时有两个公共点；当
时有三个公共点 11分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，
时，
对
恒成立，即
令
，则
12分由(Ⅱ)知，当
时，
对
恒成立，即
令
，则
，故有
14分