天门市2015年高三年级四月调研考试数学（理工类）

本试卷共4页，共22题。全卷满分150分，考试时间120分钟。

大数据分析，提升学习力。

注意事项：

1. 答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2. 选择题的作答，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知z为复数，
（i为虚数单位），则
＝

A、
B、
C、
D、

2、已知全集U＝R，
，
，则集合?U（A∪B）＝

A、
B、
C、
D、

3、一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形。若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是（0，0，0），（2，0，0），（2，2，0），（0，2，0），则第五个顶点的坐标可能为

A、（1，1，1） B、（1，1，
） C、（1，1，
） D、（2，2，
）

4、已知随机变量
的分布列是

－1

0

2



P









其中
，则

A、
B、
C、0 D、1

5、已知
的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若

，则
等于

A、－14 B、448 C、－1024 D、－16

6、若函数
的图象在
上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是

A、
B、
C、
D、

7、已知有序数对
，则方程
有实根的概率为

A、
B、
C、
D、

8、已知实数
满足
,且
，则
的最大值为

A、6 B、5 C、4 D、－3

9、如图，直线
平面，垂足为O，已知边长为2的等边三角形ABC在空间做符合以下条件的自由运动：①
，②
，则B，O两点间的最大距离为

A、
B、

C、
D、

10、已知函数
，若关于的方程

恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为

A、
B、
C、
D、

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

（一）必考题（11-14题）

11、执行如图的程序框图，若输入
，则输出
▲ ．

12、在等比数列
中，对于任意
都有
，

则
▲ ．

13、设
、
是双曲线
的左、右焦点，

是双曲线右支上一点，满足
（
为坐标

原点），且
，则双曲线的离心率为 ▲ ．

14、数列
共有12项，其中
，且

，则满足这种条件的不同数列的个数为 ▲ ．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分。）

15、如图，△ABC内接于圆O，直线L平行AC交线段BC于D，交线段AB于E，交圆O于G、F，交圆O在点A的切线于P．若PE=6，ED=4，EF=6，则PA的长为 ▲ ．

16、已知曲线C1的参数方程为
，若以坐

标原点O为极点，轴正半轴为极轴，曲线C2的极坐标方程为

，那么C1上的点到曲线C2上

的点的距离的最小值为 ▲ ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。

17、（本题满分12分）设
，其中
，

已知
满足

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）求不等式
的解集．

18、（本题满分12分）已知等差数列
满足
、
、
成等比数列，数列
的前项和
（其中为正常数）．

（1）求
的前项和
；

（2）已知
，
，求

19、（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，

PA底面ABCD，底面ABCD是梯形，其中

AD//BC，BAAD，AC与BD交于点O，M是

AB边上的点，且AM=2BM，已知PA=AD=4，

AB=3，BC=2．

（1）求平面PMC与平面PAD所成锐二面角的正切；

（2）已知N是PM上一点，且ON//平面PCD，求
的值．

20、（本题满分12分）某公司从大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．

（1）如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少？

（2）若从所有甲部门人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．

21、（本题满分13分）已知椭圆C：

的离心率为
，
是椭圆的两个焦点，是椭

圆上任意一点，且
的周长是
．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设圆T：
，过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，当圆心在轴上移动且
时，求EF的斜率的取值范围．

22、（本题满分14分）已知函数
，
．

（1）已知
在
上是单调函数，求的取值范围；

（2）已知
满足
，且
，试比较
与
的大小；

（3）已知
，是否存在正数
，使得关于的方程
在
上有两个不相等的实数根？如果存在，求
满足的条件；如果不存在，说明理由．

天门市2015年高三年级四月调研考试

数学（理工类）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 2、A 3、C 4、D 5、B 6、B 7、C 8、B 9、C 10、A

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

11、
12、 729或36 13、5 14、28 15、
16、

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。

17、解：（1）

………………2分

……………3分

令
，得

的单调递增区间是
…………7分

（2）

的解集是
……………12分

18、解：（1）设
的公差是d，则

或
…………………4分

当d=1时,

当
时,
……………6分

（2）

当
时，

当
时，

…………8分

当
时，
……………9分

当
时

…………………11分

…………………12分

19、解法1：（1）连接CM并延长交DA的延长线于E,则

PE是平面PMC与平面PAD所成二面角的棱，

过A作AF垂直PE于F，连接MF．

∵PA⊥平面ABCD　∴PA⊥MA，

又MA⊥AD，∴MA⊥平面PAD

∵AF⊥PE∴MF⊥PE,

∴∠MFA是平面PMC与平面PAD

所成锐二面角的平面角………3分

∵BC=2， AD=4， BC//AD, AM=2MB

∴AE=4,又PA=4，∴AF=

∴tan∠MFA=
=
，

所以平面PMC与平面PAD所成锐二面角的正切为
…………6分

（2）连接MO并延长交CD于G，连接PG

∵ON//平面PCD, ∴ON//PG

在BAD中 ∵
,又

∴
∴MO//AD ………………………………………9分

又在直角梯形ABCD中，MO=OG=
，

∵ON//PG ∴PN=MN , ∴
………………12分

解法2 （1）以A为坐标原点，AB、AD、AP为x.y,z轴建立如图所示直角坐标系，

则A（0，0，0）、B（3，0，0）、C（3，2，0）、D（0，4，0）、M（2，0，0）、P（0，0，4）、O（2，4/3,0）

设平面PMC的法向量是
=(x,y,z),则

∵　
＝（１，２，０），
＝（－２，０，４）

　　　　
令y=-1，则x=2,z=1

∴
= (2,-1,1)

又AB⊥平面PAD，∴
=(1,0,0)是平面PAD的法向量

所以平面PMC与平面PAD所成锐二面角的正切为
………………6分

（2）设平面PCD的法向量
= (x’,y’,z’)

∵
=(3,2,-4),
=(0,4, -4)

∴
令
，则

∴

设
＝

，则∵
＝（２，０，-４）∴
＝（２
，０，－４
）　　　

　　　　　　
=
=（2
-2，-4/3,4-4
）

∵
⊥
∴4
-4-4+12-12
=0

∴
,∴
…………………………………………12分

20、解：（1）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
，根据茎叶图，甲部门入选10人，乙部门入选10人，所以选中的甲部门人选有
4人，乙部门人选有
4人。用事件A表示至少有一名甲部门人选被选中，则P(A)=
，因此至少有一人是甲部门人选的概率是
…………6分

(2)依题意，X的取值分别是0，1，2，3

，

，

因此，X的分布列如下：

X

0

1

2

3



P

1/30

3/10

1/2

1/6



………11分

所以X的数学期望
………………12分

21、解：（1）由
，可知a=4b，

因