2015年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数 学（理 科）

本试题卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设
，则的非空真子集的个数为( )

A. 5 B. 30 C. 31 D. 32

2. 已知
的方程分别为
（
不同时为零），
（
不同时为零），则
的充要条件是 ( )

A.
B.
且

C.
D.
时，
，
时，

3. 在去年足球甲联赛上，一队每场比赛平均失球数是1. 5， 全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队每场比赛平均失球数是2.1 ，全年失球个数的标准差为0.4，下列说法正确的是( )

A. 平均来说一队比二队防守技术好 B. 二队比一队技术水平更稳定

C. 一队有时表现很差，有时表现很好 D. 二队很少失球

4. 复数
等于( )

A.
B. C. －1 D. 1

5. 已知
时，
，

，
，

则
( )

A. 0.043 B. 0.0215 C. 0.3413 D. 0.4772

6. 用右边框图求数列
的前100项和，矩形赋值框和菱形

判断框应分别填入( )

A.
B.

C.
D.

7.
且
，

则
( )

A.
B.
C. 1 D.

8. 设
，则下列区间中有零点的是 ( )

A.
B.
C.
D.

9.
的角
所对的边分别是
（其中为斜边），分别以
边所在的直线为旋转轴，将
旋转一周得到的几何体的体积分别是
，则( )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，半径为2的
与直线
切于点，射线
从
出发，绕点逆时针旋转

到
，旋转过程中，
交
于
，设
，

弓形
的面积为
，那么
的图象大致为 ( )

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．
除以8的余数为______________．

12．向曲线
所围成的区域内任投一点，这点正好落在
与轴所围成区域内的概率为 ______________．

13．
表示前个正整数倒序相乘的和，如

，则
______________．（将结果写成分解因式的形式）

14．已知对任意平面向量
，把
绕其起点逆时针旋转
角得到向量
，叫做把点绕点逆时针旋转
角得到，设
，把点绕起点逆时针旋转
得到点，的坐标为 ______，方程
是以轴，轴为渐近线的双曲线，将该双曲线的每一点经过同样的方式旋转后可得到焦点在轴的双曲线，则得到的双曲线的标准方程为______．

选做题：（任选做一题）

15．如图，
是
的切线，为切点，过
的中点

作割线交
于
两点，若
，则
________．

16. 过
点
的直线
的参数方程为

以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系下的曲线C的方程为
与
交于
两点，则
__________．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本题12分）
中，
（1）判断
的形状；

（2）设
,
，求
的范围．

18．（本题12分）四棱维
中，底面
是正方形，
底面
，过作
交
于，过作
交
于

（1）求证：
平面

（2）当
为何值时，二面角
的余弦值为
．

19．（本题12分）甲箱子里装有3个白球个黑球，乙箱子里装有个白球，2个黑球，在一次试验中，分别从这两个箱子里摸出一个球，若它们都是白球，则获奖

（1） 当获奖概率最大时，求的值；

（2）在（1）的条件下，班长用上述摸奖方法决定参加游戏的人数，班长有4次摸奖机会（有放回摸取），当班长中奖时已试验次数
即为参加游戏人数，如4次均未中奖，则
，求
的分布列和
．

20．（本题12分）下图中正方形的个数依次构成数列
的前3项

（1） 如果这个数列中，
是
的一次函数，求出
的一个递推公式；

（2）在（1）的条件下，求
的通项公式；

（3）设
，求数列
的前项和
．

21．（本题13分）从椭圆
上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点
，点是椭圆上的右顶点，
是椭圆的上、下顶点，已知

（1）求椭圆的方程；

（2）设
是两定点，实数
满足什么条件时，
与
的交点始终在椭圆上？

22. （本题14分）设

（1）求
的单调区间；

（2）证明
恒成立；

（3）设
，求证

2015年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）

数学（理科）

参考答案

一、选择题：

1. B必修Ⅰ，P12 －B组－4

2. C必修Ⅱ，P101 －B组－4

3. A必修Ⅲ，P81－4

4. B

5. B选修Ⅱ－3 P73 正态分布概念

6. B选修Ⅱ－3 P116－A组－1（4）

7. D 选修Ⅳ－5 P40 例3

8. B

9. D 必修2 P30.3

10.D选修Ⅱ－2 P65－9

二、填空题：

11.7 选修Ⅱ－3 P40－9

12.
必修Ⅱ P144－B组－3

13.
选修Ⅱ－2 P96－B组－2

14.
必修Ⅳ－P113－B组－3

15. 3 选修Ⅳ－1 P40－6

16. 2 选修Ⅳ－4 P36－例1

三、解答题：

17.必修5 P10－B组－2

（1）
为等腰或
………………4分

（2）

………………6分

1.
时，

………………9分

2.
时，

设
，

………………12分

18. 选修Ⅱ－1 P109－例4

（1）略………………5分

（2）设
，以为原点，
为轴，轴，轴建立空间直角坐标，则平面
的法向量
，平面
的法向量
，由
得
………………12分

19. 选修Ⅱ－3 P59－2

（1）获奖概率
或3时
…………4分

（2）
的取值有0，1，2，3，4

1

2

3

4

0



















………………12分

20.必修5－P34－B组1及P47－4

（1）

………………4分

（2）
………………7分

（3）

………………12分

21. 选修Ⅱ－1 P81－2 选修Ⅳ－4 P34－2

（1）
………………4分

(2)

设

………………12分

22. 选修Ⅳ－5 P37-8

(1)

时，

时，

的增区间为

的减区间为
………………4分

（2）设
，则

在
上↓
在
上↓

即
………………8分

（3）不妨设
， 构造函数

则

又

又

在
上↑

在
上↓

成立

………………14分