天门市2015年高三年级四月调研考试数学（文史类）

本试卷共4页，共22题。全卷满分150分，考试时间120分钟。

大数据分析，提升学习力。

注意事项：

1. 答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2. 选择题的作答，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U＝R，
，
，则集合?U（A∪B）＝

A、
B、
C、
D、

2．已知z为复数，
（i为虚数单位），则
＝

A、
B、
C、
D、

3．一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三

角形。若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系
中的

坐标分别是（0，0，0），（2，0，0），（2，2，0），（0，2，0），

则第五个顶点的坐标可能为

A、（1，1，1） B、（1，1，
）

C、（1，1，
） D、（2，2，
）

4．甲、乙两名同学，在班级的演讲比赛中,得分情况如图所示,记甲、

乙两人的平均得分分别为
、
,则下列判断正确的是

A、
，甲比乙成绩稳定 B、
，乙比甲成绩稳定

C、
，甲比乙成绩稳定 D、
，乙比甲成绩稳定

5．已知双曲线
的焦距为
，抛物线
与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为

A、
B、
C、
D、

6．已知多项式
，用秦九韶算法算
时的V1值为

A、22 B、564.9 C、20 D、14130.2

7．数列{cn}为等比数列，其中c1＝2，c8＝4，
，
为函数f(x)的导函数，则
＝

A、0 B、26 C、29 D、212

8．“序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数(如1246)，在两位的“序数”中任取一个数比36大的概率是

A、 B、 C、 D、

9．已知定义在上的奇函数
，当
时，
则关于的方程
的实数根个数为

A、6 B、7 C、8 D、9

10．若函数
的图象在
上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是

A、
B、
C、
D、

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

11．执行如图的程序框图，若输入
，则输出
▲ ．

12．在等比数列
中，对于任意
都有
，

则
▲ ．

13．点P（x,y）在线性约束条件
表示的区域内运动，

则|OP|的最小值为 ▲ ．

14．若向量m，n的夹角为45°，且|m|=l，|2m –n|=
，

则| n|= ▲ ．

15．已知a、b为实数，则“a＞b＞1”是“＜”的 ▲ 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”及“充要”等）．

16．设
、
是双曲线
的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使
（
为坐标原点），且
，则双曲线的离心率为

▲ ．

17．已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．（1）
▲ ；（2）若
时，
恒成立，则实数
的取值范围是 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共65分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。

18．（本题满分12分）

设
，其中
，已知
满足

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）求不等式
的解集。

19．（本题满分12分）

已知等差数列
满足
、
、
成等比数列，数列
的前项和
（其中为正常数）

（1）求
的前项和
；

（2）已知
，
，求

20．（本题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是梯形，其中AD//BC，BAAD，AC与BD交于点O，M是AB边上的点，且AM=2BM，已知PA=AD=4，AB=3，BC=2．

（1）求平面PMC与平面PAD所成锐二面角的正切；

（2）已知N是PM上一点，且ON//平面PCD，求
的值．

21．（本题满分14分）

若函数
是定义域D内的某个区间上的增函数，且
在上是减函数，则称
是上的“单反减函数”，已知

（1）判断
在
上是否是“单反减函数”；

（2）若
是
上的“单反减函数”，求实数的取值范围．

22．（本题满分14分）

已知椭圆C：
的离心率为
，
是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且(PF1F2的周长是

（1）求椭圆C的方程；

（2）设圆T：
，过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，当圆心在轴上移动且
时，求EF的斜率的取值范围．

天门市2015年高三年级四月调研考试

数学（文史类）参考答案及评分标准

一、选择题：ABCBB ADABB

二、填空题：

11．
； 12．729 =36； 13．
； 14．
； 15．充分不必要； 16．5；

17．
，
。

三、解答题：

18．解：（1）

………………2分

……………3分

令
，得

的单调递增区间是
…………7分

（2）∵
，∴

不等式的解集是
……………12分

19．解：（1）设
的公差是d，则

或
…………………4分

当d=1时,

当
时,
……………6分

（2）

当
时，

当
时，

…………8分

当
时，
……………9分

当
时

…………………11分

…………………12分

20．解法1：（1）连接CM并延长交DA的延长线于E,则

PE是平面PMC与平面PAD所成二面角的棱，过A作AF垂直PE于F，连接MF

∵PA⊥平面ABCD　　　∴PA⊥MA，又MA⊥AD，∴MA⊥平面PAD

∵AF⊥PE∴MF⊥PE,

∴∠MFA是平面PMC与平面PAD所成锐二面角的平面角……3分

∵BC=2， AD=4， BC//AD, AM=2MB

∴AE=4,又PA=4,AF=

tan∠MFA=
=

所以平面PMC与平面PAD所成

锐二面角的正切为
…………6分

（2）连接MO并延长交CD于G，连接PG

∵ON//平面PCD, ∴ON//PG

在BAD中 ∵
,又

∴
∴MO//AD ………………………………………………9分

又在直角梯形ABCD中，MO=OG=
，

∵ON//PG ∴PN=MN , ∴
……………………………………12分

解法2 （1）以A为坐标原点，AB、AD、AP为x.y,z轴建立如图所示直角坐标系，则A（0，0，0）、B（3，0，0）、C（3，2，0）、D（0，4，0）、M（2，0，0）、P（0，0，4）、O（2，4/3,0）

设平面PMC的法向量是u=(x,y,z),则

∵　MC＝（1，2，0），MP＝（－2，0，4）

　　　　
令y=-1，则x=2,z=1

∴u = (2,-1,1)

又AB⊥平面PAD，

∴v=(1,0,0)是平面PAD的法向量

所以平面PMC与平面PAD所成锐二面角的正切为
………………6分

（2）设平面PCD的法向量v’= (x’,y’,z’)

∵ PC =(-3,2,-4),PD =(0,4,4)

∴
令
，则

∴

设PN ＝
PM，则∵PM ＝（２，０，-４）∴PN ＝（２
，０，－４
）　　　

　　　　　　ON = AN-AO = AP + PN -AO =（2
-2，-4/3,4-4
）

∵ON⊥V‘ ∴4
-4-4+12-12
=0

∴
,∴
………………12分

21．解：（1）由于f（x）=lnx，在（0，1]上是增函数，且F（x）=
=
，

∵F′（x）=
，∴当x∈（0，1]时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，

∴f（x）在（0，1]上不是“单反减函数”；?????????????6分

（2）∵g（x）=2x+
+alnx，

∴g′（x）=2﹣
+
=
，????????????????8分

∵g（x）是[1，+∞）上的“单反减函数”，

∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，

∴g′（1）≥0，∴a≥0，?????????????????????9分

又G（x）=
=2+
+
在[1，+∞）上是减函数，

∴G′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即﹣
+
≤0在[1，+∞）恒成立，

即ax﹣axlnx﹣4≤0在[1，+∞）恒成立，??????????????????11分

令p（x）=ax﹣axlnx﹣4则p′（x）=﹣alnx，

∴
解得0≤a≤4，

综上所述0≤a≤4．????????????????14分

22．解：（1）由
，可知a=4b，

因为
的周长是
，

所以
,

所以a=4,b=1,

所求椭圆方程为
…………………………4分

（2）椭圆的上顶点为M(0,1)，设过点M与圆T相切的直线方程为
，

由直线
与T相切可知
，

即

，…………6分

由
得

同理
………8分

……………11分

当1

……………14分