唐山一中2015届高三第二次仿真考试

数 学 试 题（文）参考答案

一．选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

D

A

B

D

A

C

C

D

C

C



12：提示：将向量
投影到
上，即过点作
的平行线，分别交
于点
由系数

的几何意义知，

于是

又

所以
而
所以
故选C.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．n≤6 ？ 14．6 15．
16．

三．解答题：

17．解：f（x）=
sin2ωx﹣
（1+cos2ωx）﹣
=sin（2ωx﹣
）﹣1，

∵f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，

∴
=π，即ω=1，

则f（x）=sin（2x﹣
）﹣1，

（Ⅰ）令﹣
+2kπ≤2x﹣
≤
+2kπ，k∈Z，得到﹣
+kπ≤x≤kπ+
，k∈Z，

则函数f（x）的单调递增区间为[﹣
+kπ，kπ+
]，k∈Z；

（Ⅱ）由f（C）=0，得到f（C）=sin（2C﹣
）﹣1=0，即sin（2x﹣
）=1，

∴2C﹣
=
，即C=
，

由正弦定理
=
得：b=
，

把sinB=3sinA代入得：b=3a，

由余弦定理及c=
得：cosC=
=
=
，

整理得：10a2﹣7=3a2，

解得：a=1，

则b=3．

18．(1)由题知

则

所以使得
在
上的投影大于
的概率
.

(2)以O为起点，以A,B,C,D,E这5个点中任取两个点为终点得到两个向量所有的基本事件有：

共10个，其中数量积
有

共4个.

所以
.

19．解：（Ⅰ）证明：三棱柱
为直三棱柱，

平面
，

又
平面
，
……………. 2分

又
平面
，且
平面
，

. 又
平面
,
平面
,
，

平面
。

又
平面
，
…………….6分

（Ⅱ）在直三棱柱
中，

.

平面
，其垂足落在直线
上,

.

在
中，
，
，
,

在
中，
……………8分

由（1）知
平面
，
平面
, 从而
。

。

为
的中点，
……10分

………12分

20．解：（I）当
时，
，
，

所以
，
，

所以曲线
在
处的切线方程为
.………………………4分

（II）函数
的定义域为

，

①当
时，
，在
上
，在
上

所以
在
上单调递增，在
上递减； ……………………………6分

②当
时，在
和
上
，在
上

所以
在
和
上单调递增，在
上递减；………………………8分

③当
时，在
上
且仅有
，

所以
在
上单调递增； …………………………10分

④当
时，在
和
上
，在
上

所以
在
和
上单调递增，在
上递减…………………12分

21．【解答】（Ⅰ）|QF|=3=2+
， =2．

（Ⅱ）抛物线方程为
，

A(
)， D(
)， B(
) ，C(
)，

，
，

，

，

所以直线AC和直线AB的倾斜角互补，
．

（Ⅲ）设
，

则m=n=|AD|sin，
，

即
，

把

与抛物线方程
联立得：
，

，
，同理可得
，

，

，
．

22．解： （Ⅰ）设线段
的中点为，连接
，

点是圆心，
………2分

. ………………8分

又由（Ⅰ）知
.

. ………………10分

23.解：(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

设，对应的参数分别为
，则
． ---------------3分

所以
． ------5分

(Ⅱ)易得点在平面直角坐标系下的坐标为
，根据中点坐标的性质可得
中点
对应的参数为
． ---------8分

所以由的几何意义可得点到
的距离为
． ----10分

24．解：(Ⅰ)由题意原不等式可化为：

即：
……………2分

由
得

由
得

综上原不等式的解为
……………5分

(Ⅱ)原不等式等价于

令
，即
，…………8分

由
，所以
，

所以
.………………10分