鹰潭市2015届高三第二次模拟考试数学试题(理科)

命题人：何卫中 贵溪一中 审题人：金俊颖 余江一中

试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合

(　　)

A．
B．
C．
D．

2. 如图，按英文字母表A、B、C、D、E、F、G、H、…的顺序

有规律排列而成的鱼状图案中，字母“O”出现的个数为( )

A．27 B．29 C．31 D．33

3．从随机编号为0001，0002，
5000的5000名参加这次鹰潭市模拟考试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是（ ）

A．4966 B．4967 C．4968 D．4969

4．写出不大于1000的所有能被7整除的正整数，下面是四位同学设计的程序框图，

其中正确的是（ ）

A． B． C． D．

5．函数
的零点所在区间为 （ ）

A．
B．
C．
D．（1，2）

6．实数使得复数
是纯虚数，
则
的大小关系是 （ ）

A．
B．
C．
D．

7．下列四种说法中，错误的个数有 （ ）

①命题“
∈R，均有
≥0”的否定是：“
∈R，使得x2—3x-2≤0”

②方程
的解集为

③“命题p q为真”是“命题pq为真”的必要不充分条件；

④集合
,
,满足
的集合
的个数有7个

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

8．已知
则
（ ）

A．
B．
C．
D． 5

9．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有、、
、、
、
个点）两次，落在水平

桌面后，记正面朝上的点数分别为, ,设事件为“
为偶数”， 事件为

“,中有偶数且
”，则概率
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知
，若不等式
对任意
恒成立，则实数x的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

11．已知
在
处取得极小值，且函数
，
满足

，则函数
的图象在
处的切线方程为（ ）

A．
B．
或

C．
D．
或

12．已知函数
在
上的最大值为
,最小值为
,则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．若是第二象限角，其终边上一点
，且
，则
．

14．设x，y满足约束条件
，若
的最小值为
的展开式的常数项的
，则实数的值为 ．

15．已知一个正三棱柱,一个体积为
的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个正三棱柱的表面

积是 ．

16．设双曲线
的右焦点为，过点作与轴垂直的直线
交两渐近线于、两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设
为坐标原点，若
，
，则该双曲线的离心率为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知数列
的首项
，点
在直线
上，当
时，均有

（1）求
的通项公式 （2）设
求数列
的前项和

18．（本小题满分12分）

我市“水稻良种研究所”对某水稻良种的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究。他们分别记

录了3月21日至3月25日的昼夜温差及每天30颗水稻种子的发芽数，并得到如下资料

日期

3月21日

3月22日

3月23日

3月24日

3月25日



温差x（
）

10

11

13

12

9



发芽数y(颗)

15

16

17

14

13





(1)请根据以上资料，求出y关于x的线性回归方程；据气象预报3月26日的昼夜温差为14
,请你预测3月26日浸泡的30颗水稻种子的发芽数（结果保留整数）。

(2)从3月21日至3月25日中任选2天，记种子发芽数超过15颗的天数为X，求X的概率分布列，并求其数学期望EX和方差DX。

(参考公式及参考数据
，
，
)

19. （本小题满分12分）

一个四棱椎的三视图如图所示：

（1）请画出此四棱锥的直观图，并求证：PC⊥BD；

（2）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30o？若存在，

求
的值；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的中心在原点
，焦点在轴上，离心率为
，右焦点到右顶点的距离为．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）是否存在与椭圆
交于
两点的直线
：
，使得

成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明由.

21．（本小题满分12分）

已知

，且对任意的实数均有
，

（1）求
的值。

（2）若
，设
，对于任意的
，不等式
恒成立，求实数的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，、是圆
上的两点，
，
是
弧的中点．

（1）求证：
平分
；

（2）延长
至使得
，连接
，若圆
的半径
，求
的长．

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，直线

与曲线C:
相交于A、B两点，O为极点。

(1)求∠AOB的大小．

（2）设把曲线
向左平移一个单位再经过伸缩变换
得到曲线
，设
为曲线
上任一点，求
的最小值，并求相应点
的坐标.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数

（1）若
的最小值为
，求的值；

（2）当
时, 若
的定义域为，求实数的取值范围

鹰潭市2015届高三第二次模拟考试数学(理科)答案

一、选择题：1—5 ABCBB 6 —10 CCDAA 11—12 CB

二、填空题：

13．
14．-1 15．
16．

三、解答题：17．解：（1）点
在直线
上，当
或
时有

,当
时有，
，
，
。

又


，因为

，即

…………………6分

（2）
…………………8分

利用乘公比错位相减法求的
………………12分

18．解：（1）因为
所以

故线性回归方程为
………………3分

当
，即3月26日浸泡的30颗水稻种子的发芽

数17颗……………6分

(2) 因为

X

 0

 1

 2



 P









 所以
………10分
…………12分

19．解：（1）由三视图可知P-ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，

连接AC、BD交于点O，连接PO?．PD=PB,OB=OD
PO ⊥BD （……2分）

因为BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，即BD⊥PC． …………………6分

（2）由三视图可知，BC＝2，PA＝2
，假设存在这样的点Q，

因为AC⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角，……………8分

在△POD中，PD＝2
，OD＝
，则∠PDO＝60o，

在△DQO中，∠PDO＝60o，且∠QOD＝30o．所以DP⊥OQ．

所以OD＝
，QD＝
． 所以
……………12分

20. 解：（Ⅰ）设椭圆
的方程为

，半焦距为.

依题意
，由右焦点到右顶点的距离为，得
．

解得
，
．所以
．

所以椭圆
的标准方程是
．…………4分

（Ⅱ）解：存在直线
，使得
成立.理由如下：

由
得
．

，化简得
．

设
，则
，
．

若
成立，

即
，等价于
．

所以
．
，…………6分

，

, 化简得，
．

将
代入
中，
，

解得，
．又由
，
，

从而
，
或
．

所以实数的取值范围是
………12分

21. 解: （1）

由题意知
在
恒成立

在
恒成立 故

即有

由


…………6分

（2）由（1）知

当
时，

综上 所以
…………12分

22. 选修4—1：几何证明选讲

解：（1）证明：连接OC，∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点， ∴∠AOC=∠BOC=60°，

∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，

∴