唐山市2014—2015学年度高三年级第三次模拟考试

理科数学参考答案

一、选择题：

A卷：BCCAB DCBBA DC

B卷：ACDAB CDABB DC

二、填空题：

（13）6； （14）； （15）5； （16）4．

三、解答题：

（17）（Ⅰ）证明：因为2c2－2a2＝b2，

所以2ccosA－2acosC＝2c·－2a·

＝－＝＝b． …4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理以及sinB＝sin(A＋C)得

2sinCcosA－2sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC，

即sinCcosA＝3sinAcosC，

又cosAcosC≠0，所以tanC＝3tanA＝1，故C＝45°． …8分

再由正弦定理及sinA＝得c＝＝，

于是b2＝2(c2－a2)＝8，b＝2，

从而S＝absinC＝1． …12分

（18）解：

（Ⅰ）由题中数据可知，

甲＝＝88，乙＝＝88；

S＝[(85－88)2＋(83－88)2＋(86－88)2＋(96－88)2＋(90－88)2]＝21.2，

S＝[(88－88)2＋(84－88)2＋(83－88)2＋(92－88)2＋(93－88)2]＝16.4．

…6分

（Ⅱ）设甲队参加个人能力比赛成绩前三名在对抗赛的获胜的事件分别为A、B、C，

由题意可知P(A)＝，P(B)＝P(C)＝，且A、B、C相互独立，

设甲队至少2名队员获胜的事件为E，则E＝(ABC)∪(AB)∪(AC)∪(BC)． …9分

P(E)＝××＋××(1－)＋×(1－)×＋(1－)××＝．

…12分

（19）（Ⅰ）证明：取BC中点O，连OA，OA1．

因为侧面BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，BC⊥AA1，

因为截面A1BC是等边三角形，所以BC⊥OA1，

于是BC⊥平面A1OA，BC⊥OA，因此：AB＝AC．

…4分

（Ⅱ）解：设BC＝2，则OA1＝，由AB⊥AC， AB＝AC得OA＝1．

因为平面A1BC⊥底面ABC，OA1⊥BC，所以OA1⊥底面ABC．

如图，分别以OA，OB，OA1为正方向建立空间直角坐标系O-xyz． …6分

A(1，0，0)，B(0，1，0)，A1 (0，0，)，C(0，－1，0)，

＝(0，2，0)，＝＝(－1，0，)，

＝(0，1，)，＝＝(－1，1，0)．

设平面BB1C的法向量m＝(x1，y1，z1)，

则取m＝(，0，1)．

设平面A1B1C的法向量n＝(x2，y2，z2)，

则取n＝(－，－，1)．

cos(m，n(＝＝－，则二面角B－B1C－A1的余弦值为－． …12分

（20）解：

（Ⅰ）由题意可得：＋＝1， …1分

将x＋2y－4＝0代入椭圆C： (3a2＋4b2)x2－8a2x＋16a2－4a2b2＝0

由Δ＝0得3a2＋4b2＝16， …3分

联立解得：a2＝4，b2＝1．

于是椭圆C的方程为：＋y2＝1． …5分

（II）设直线l：y＝kx＋m，M(x0，y0)．

将直线l的方程代入椭圆C得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

令Δ＝0，得m2＝4k2＋1，且x＝，所以|OM|2＝． …7分

又|OH|2＝＝，所以(cos∠HOM)2＝． …9分

因为(1＋16k2)(4＋4k2)≤＝，

所以≥，等号当且仅当k2＝时成立． 故k＝±．…12分

（21）解：（Ⅰ）f((x)＝ex－2x． 由题设得a＝f((1)＝e－2，a＋1＝f(1)＝e－1＋b．

故a＝e－2，b＝0． …4分

（II）由（Ⅰ）得，f(x)＝ex－x2，下面证明：当x＞0时，f(x)≥(e－2)x＋1．

设g(x)＝f(x)－(e－2)x－1，x＞0．

则g((x)＝ex－2x－(e－2)，

设h(x)＝g((x)，则h((x)＝ex－2，

当x∈(0，ln2)时，h((x)＜0，h(x)单调递减，

当x∈(ln2，＋∞)时，h((x)＞0，h(x)单调递增．

又h(0)＝3－e＞0，h(1)＝0，0＜ln2＜1，h(ln2)＜0，所以(x0∈(0，1)，h(x0)＝0，

所以当x∈(0，x0)或x∈(1，＋∞)时，g((x)＞0；当x∈(x0，1)时，g((x)＜0，

故g(x)在(0，x0)和(1，＋∞)单调递增，在(x0，1)单调递减，

又g(0)＝g(1)＝0，所以g(x)＝ex－x2－(e－2)x－1≥0．

因x＞0，则≥x（当且仅当x＝1时等号成立）． ① …8分

以下证明：当x＞0时，x＞．

令p(x)＝x－，则p((x)＝1－＝≥0，

（当且仅当x＝2k(，k∈Z时等号成立）．

所以p(x)在(0，＋∞)单调递增，当x＞0时，p(x)＝x－＞p(0)＝0，

即x＞． ②

由①②得当x＞0时，＞，

又x(3＋cosx)＞0，故[ex＋(2－e)x－1](3＋cosx)－4xsinx＞0． …12分

（22）解：

（Ⅰ）证明：

延长DC与圆O交于点M，因为CD⊥AB，

所以CD2＝CD·CM＝AC·BC，

因为Rt△ACE∽Rt△GBC，所以＝，

即AC·BC＝CE·CG，故CD2＝CE·CG．…5分

（Ⅱ）

因为AC＝CO＝1，所以CD2＝AC·BC＝3，

又CD＝3CE，由（Ⅰ）得CG＝3CD，

GT2＝GM·GD＝(CG＋CM)·(CG－CD)＝(CG＋CD)·(CG－CD)

＝CG2－CD2＝8CD2＝24，故GT＝2． …10分

（23）解：（Ⅰ）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入已知，分别得C和l的极坐标方程为

C：ρ＝4cosθ（0≤θ≤)，l：ρcosθ－2ρsinθ－2＝0． …4分

（Ⅱ）依题意，l经过半圆C的圆心C(2，0)．

设点B的极角为α，则tanα＝，进而求得cosα＝ …6分 由C的极坐标方程得|OB|＝4cosα＝． …10分

（24）解：

（Ⅰ）若a＝1，f(x)＝

由f(x)的单调性及f(－3)＝f(2)＝5，得f(x)≤5的解集为{x|－3≤x≤2}．…5分

（Ⅱ）f(x)＝

当x∈(－∞，－2]时，f(x)单调递减；当x∈[，＋∞)时，f(x)单调递增，

又f(x)的图象连续不断，所以f(x)≥2当且仅当f(－1)＝2a＋1≥2，且f()＝＋2≥2，得a≥，故a的最小值为． …10分