2015年安徽省皖江名校高三联考

数学（文科）参考答案

4.D 【解析】由指对数的运算性质可知
，故选D

5.C 【解析】程序运行如下：第一次循环，
，
；第二次循环，
，
；第三次循环，
，
；第四次循环，
，
.程序终止运行，输出
.所以判断框内可填入的条件是
.故选C.

6.A 【解析】设所求圆的方程是
，则圆心
到直线
的距离等于圆的半径，即
，有
，得
，或
（舍）于是，有
.

7.D 【解析】如图画出可行域，∵
，∴
，求z的最大值即求直线的最大截距，显然过点A时取得最大值．由
解得A(2,3)，所以
的最大值为5.

8.C 【解析】 由题意知
，由正弦定理得
，故
，由
可得
，所以cosA=
=
，所以
，故
.

9. D 【解析】易知该几何体为正三棱柱，设该几何体的外接球半径为，由勾股定理可知
，故
，所以该几何体的外接球的体积为
．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上。

11.
【解析】由渐近线的斜率为
，可得
,即
,故
,故
,故离心率为
.

12.
【解析】设高一的3位同学为A1，A2，A3，高二的2位同学为B1，B2，高三的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，其中高二的2位同学至少一位同学参加县里测试的的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(B1，B2)，(A3，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)9种可能. 所以高二至少有一名学生参加县里比赛的概率为
.

13.0 【解析】设公差为d，由
，得
，所以
，即
.于是
.

14.
【解析】由题知
，
，若
，则
，即
，解得
．

15. ①②⑤ 【解析】因为D为BC边的中点，所以
，所以①正确；
，所以②正确；同理可得
，由已知
恒成立， 得
，即
恒成立，所以故③错误；注意到
是定点，所以
是点D与直线上各点距离的最小值，所以
，故
，设AB中点为O，则
，所以④错误；再由D为BC的中点，易得CO为底边AB的中线，故
是等腰三角形，有AC=BC，所以⑤正确.综上可知，①②⑤正确.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. 【解】（Ⅰ）

. ………4分

因为
的最小正周期为，且
，所以
，即
.………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
． ………7分

由
，得
，即
． ………10分

所以
的单调递增区间为
. ………12分

17. (Ⅰ)【证明】因为四边形
是等腰梯形，
∥
，
，

所以
.

又
，所以
，所以
，即
，于是
.

………4分

而
平面
，所以
.

又
，
平面
，

所以
平面
. ………6分

(Ⅱ)【证明】由(Ⅰ)证明可知
，

因为平面
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………9分

而
平面
，

所以平面
平面
. ………12分

18. 【解】(1)∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，

∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数． ………2分

∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有即∴－20≤q≤12. ………5分

(2)∵0≤t<10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8.

①当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，

∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，

解得t＝，∴t＝； ………8分

②当6

∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8； ………10分

③当8

∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8,9，

∴t＝9.

综上可知，存在常数t＝，8,9满足条件. ………12分

19.（Ⅰ）【解】因为
，且
是等比数列中连续三项，所以
，结合公差
解得
，

所以
， ………………4分

又
，所以公比
，首相
，故
………6分

（Ⅱ）证明：因为
所以当
时，
，

两式作差可得，
，所以
. …………8分

当
时，
，不满足上式，故
. …………9分

于是

. ………………13分

20. 【解】（Ⅰ）设椭圆方程为
.

易知
，又
，得
，于是有
．故椭圆C的标准方程为
． …………5分

（Ⅱ）设直线
的方程为
，即
，于是点
到直线
的距离之积为
，即
，即
.

…………7分

若
，则
，矛盾，舍去. …………8分

若
，则
，由
，消去y，可得
， …………10分

所以判别式

，

即直线
与椭圆C相切，一定有唯一的公共点. ………… 13分

21．【解】（Ⅰ）当
时，
，则
，得
.

当
时，
，于是曲线
在
处的切线方程为
.…………6分

（Ⅱ）依题意，
即为
.

因为
，所以
，且等号不能同时成立，所以
，即
，所以
恒成立，即只需求出
的最小值即可. …………9分

令
，
，

则
………11分

当
时，
，所以
，故
，

所以函数
在区间
上为增函数．

故函数
的最小值为
，从而
. …………13分