九江市2015年第一次高考模拟统一考试

数 学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，时间120分钟．

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知全集
，集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、设复数
，则
的共轭复数为（ ）

A．
B．
C．
D．

3、已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4、已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5、已知函数
（
）的图象向左平移
个单位后得到
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6、在如下程序框图中，输入
，若输出的
是
，则程序框图中的判断框应填入（ ）

A．
B．
C．
D．

7、已知抛物线的方程为
（
），过抛物线上一点
和抛物线的焦点
作直线
交抛物线于另一点
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8、若实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、如图，网格纸上小正方形边长为
，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

10、已知点
为双曲线
右支上一点，点
，
分别为双曲线的左、右焦点，
为
的内心，若
，则
的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

11、平面
截球
的球面得圆
，过圆心
的平面
与
的夹角为
，且平面
截球
的球面得圆
．已知球
的半径为
，圆
的面积为
，则圆
的半径为（ ）

A．
B．
C．
D．

12、已知定义在
上的函数，当
时，
，且对任意的实数
（
，且
），都有
，若
有且仅有三个零点，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-24题为选考题，学生根据要求作答．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、
的展开式中
的系数为 ．（用数字作答）

14、已知直线
是函数
的切线，则实数
．

15、等差数列
中，
，
，
（
），则数列
的公差为 ．

16、如图，在
中，三内角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
，
，
为
的面积，圆
是
的外接圆，
是圆
上一动点，当
取得最大值时，
的最大值为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分12分）已知各项不为零的数列
的前
项和为
，且满足
．

求数列
的通项公式；

设数列
满足
，求数列
的前
项和
．

18、（本小题满分12分）如图所示，在长方体
中，
（
），
、
分别是
和
的中点，且
平面
．

求
的值；

求二面角
的余弦值．

19、（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取
名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）

几何题

代数题

总计



男同学

22

8

30



女同学

8

12

20



总计

30

20

50




能否据此判断有
%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在
分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在
分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．

现从选择做几何题的
名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为
，求
的分布列及数学期望
．

附表及公式




































．

20、（本小题满分12分）已知椭圆
的中心在坐标原点，右焦点为
，
、
是椭圆
的左、右顶点，
是椭圆
上异于
、
的动点，且
面积的最大值为
．

求椭圆
的方程；

是否存在一定点
（
），使得当过点
的直线
与曲线
相交于
，
两点时，
为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．

21、（本小题满分12分）设函数
，
（其中
为自然对数的底数，
，
且
），曲线
在点
处的切线方程为
．

求
的值；

若对任意
，
与
有且只有两个交点，求
的取值范围．

请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知
是
的直径，
是
的切线，
为切点，
交
于点
，连接
、
、
、
，延长
交
于
．

证明：
；

证明：
．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
．

写出直线
的极坐标方程与曲线
的普通方程；

若点
是曲线
上的动点，求
到直线
的距离的最小值，并求出
点的坐标．

24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

当
时，解不等式
；

若存在实数
，使得不等式
成立，求实数
的取值范围．

九江市2015年第一次高考模拟统一考试

数 学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.解：
，
，故选C.

2.解：
，故选B.

3.解：
，故选B.

4.解：

故选B.

5.解：由题意得
又