数 学Ⅰ

一、填空题：（共14小题，每题5分，满分70分）

1．已知集合
，
，则
= ▲ ．

2．若复数
为纯虚数，是虚数单位，则实数的值是 ▲ ．

3．已知复数
，
(为虚数单位)．在复平面内，
对应的点在第 ▲ 象限．

4．命题：“
，
”的否定是 ▲ ．

5．已知
是等差数列，若
，则
的值是 ▲ ．

6．若将甲、乙两个球随机放入编号为，，
的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在，号盒子中各有一个球的概率是 ▲ ．

7．在平面直角坐标系
中，若双曲线的渐近线方程是
，

且经过点
，则该双曲线的方程是 ▲ ．

8．若
，则
的值是 ▲ ．

9．若
，，
是实数，则
的最大值是 ▲ ．

10．如图，在正三棱柱
中，若各条棱长均为2，且

M为
的中点，则三棱锥
的体积是 ▲ ．

11．设函数
是定义在上的奇函数，当
时，
，则关于的不等式
的解集是 ▲ ．

12．已知光线通过点
，被直线
：
反射，反射光线通过点
， 则反射光线所在直线的方程是 ▲ ．

13．如图，已知
中，
，
，是

的中点，若向量
，且
的终点
在

的内部（不含边界），则
的取值范围是 ▲ ．

14．已知函数
，若关于x的不等式
的解集为空集，则实数a的取值范围是 ▲ ．

二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．已知
的内角
的对边分别为
，
．

（1）若
，
，求的值；

（2）若
，求
的值．

16．如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，且
．

（1）求证：
；

（2）若平面
与平面
的交线为，求证：
．

17．如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知
为直径，且
km,
为圆心，
为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且
∥
．现在准备从经过
到建造一条观光路线，其中到
是圆弧
，
到是线段
.设
，观光路线总长为
.

（１）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（２）求观光路线总长的最大值.

18．已知函数
（其中是自然对数的底数），
，
．

（1）记函数
，且
，求
的单调增区间；

（2）若对任意

，
，均有
成立，求实数的取值范围．

19．如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
:
,设
是椭圆
上的任一点，从原点
向圆：
作两条切线，分别交椭圆于点，
.

（1）若直线
，
互相垂直，求圆的方程；

（2）若直线
，
的斜率存在，并记为
，
，求证：
；

（3）试问
是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

20．已知数列
是等差数列，其前n项和为Sn，若
，
．

（1）求
；

（2）若数列{Mn}满足条件：
，当
时，
－
，其中数列
单调递增，且
，
．

①试找出一组
，
，使得
；

②证明：对于数列
，一定存在数列
，使得数列
中的各数均为一个整数的平方．

22.在平面直角坐标系
中，已知曲线的参数方程是
（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线的极坐标方程．

23．

如图，在直三棱柱
中，已知
，
，
，点，分别在棱
，
上，且
，
，
．

（1）当
时，求异面直线
与
所成角的大小；

（2）当直线
与平面
所成角的正弦值为
时，求的值．

24．已知数列
的各项均为正整数，对于任意n∈N*，都有
成立，且
．

（1）求
，
的值；

（2）猜想数列
的通项公式，并给出证明．

数学答题纸

一、填空题：（共14小题，每题5分，满分70分）

1、 2、 3、 4、

5、 6、 7、 8、

9、 10、 11、

12、 13、 14、

二、解答题:

15、

16、

17、

18、

19、

20、

2015届高三年级摸底考试

数学附加题答题纸

21、

22、

23、

24、

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

1．
2． 3．二 4．
，
5．

6．
7．
8．
9． 10．

11．
12．
13．
14．

二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（2）因为
，
，

所以
……………………………9分

……………………………11分

．

所以
． ……………………………………14分

16．（1）连接AC，交BD于点O，连接PO．

因为四边形ABCD为菱形，所以
……2分

又因为
，O为BD的中点，

所以
……………………………………4分

又因为

所以
，

又因为

所以
……………………………………7分

（2）因为四边形ABCD为菱形，所以
…………………………9分

因为
．

所以
………………………………………11分

又因为
，平面
平面
．

所以
． ………………………………………………14分

17．(1)由题意知，
， …………………………………2分

， …………………………………5分

因为
为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且
，

所以

所以
，
…………………………………………7分

(2)记
,则
， ………………………………9分

令
，得
， ………………………………………………11分

列表

x

(0，
)



(
，
)





＋

0

－



f (x)

递增

极大值

递减



所以函数
在
处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………13分

即
，

答：观光路线总长的最大值为
千米． ……………………………14分

18．（1）因为
，

所以
， ……………………2分

令
，因为
，得
或
， ……………………5分

所以
的单调增区间为
和
； ……………………6分

（2）因为对任意

且
，均有
成立，

不妨设
，根据
在
上单调递增，

所以有
对
恒成立，……………………8分

所以
对

，
恒成立，

即
对

，
恒成立，

所以
和
在
都是单调递增函数，………………11分

当
在
上恒成立，

得
在
恒成立，得
在
恒成立，

因为
在
上单调减函数，所以
在
上取得最大值
，

解得
． ………………………………13分

当
在
上恒成立，

得
在
上恒成立，即
在
上恒成立，

因为
在
上递减，在
上单调递增，

所以
在
上取得最小值
，

所以
， ……………………………15分

所以实数的取值范围为
． ………………………16分

19．（1）由圆的方程知，圆的半径的半径
，

因为直线
，
互相垂直，且和圆相切，

所以
，即
，①………………………………………1分

又点在椭圆