清远市2015届高三上学期期末考试

数学（文）试题

第一卷（选择题 50分）

一、选择题（50分）

1、图中阴影部分表示的集合是（ ）

A、
　　 B、
　　 C、
　　 D、

2、若a，b
R，i是虚数单位，若（1＋i）i＝a＋bi，则（　　）

　A、a＝1，b＝1　　　B、a＝－1，b＝1　　C、a＝－1，b＝－1　D、a＝1，b＝－1

3、设向量
，则下列结论中正确的是（　　）

　A、
　　　　B、
　　　　　C、
　　　　　D、

4、直线l过点（－4,0）且与圆（x＋1）2＋（y－2）2＝25交于A、B两点，如果｜AB｜＝8，那么直线l的方程为（　　）

A、5x－12y＋20＝0　　　　　　　B、x＋4＝0或5x－12y＋20＝0

C、5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0　　D、x＋4＝0

5、如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）

　A、
　　　　　　　　B、
　　　　　　C、
　　　　D、

6、已知实数x，y满足约束条件
，则目标函数
的最大值是（　　）

　A、7　　　　　　B、8　　　　　C、9　　　　D、10

7、一几何体三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）

　A、32－
　　　 B、32－
　　C、32－
　　　D、32－

8、数列－1,4，－7,10，…，（－1）n（3n－2）的前n项和为Sn，则
＝（　　）

　A、－16　　　　　　B、14　　　　　　C、28　　　　　　　D、30

9、设平面
与平面
相交于直线m，直线a在平面
内，直线b在平面
内，且b⊥m，则“a⊥b”是“
⊥
”的（　　）

　A、充分不必要条件　　　　　　　　　　B、必要不充分条件

　C、充要条件　　　　　　　　　　　　　D、既不充分也不必要条件

10、用min{a,b}表示a，b两数中的最小值，若函数f（x）＝min{｜x｜，｜x＋t｜}的图象关于直线x＝－1对称，若y＝f（x）－
x＋b有三个零点，则b的值是（　　）

　A、1或－1　　　　B、
或－
　　　　C、1或
　　　　D、－1或－

第二卷（非选择题，共100分）

填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）

（一）必做题(11～13题)

11、命题“
，使得
＞0”的否定为＿＿＿＿＿＿＿

12、某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

若用最小二乘法，计算得线性回归方程为

13、在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点P，使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是＿＿＿＿

（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

14. (几何证明选讲选做题) 如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90o，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则∠ACB＝＿＿＿＿＿＿

15.(极坐标与参数方程选做题) 在极坐标系中，点A（2，
）与曲线
上的点的最短距离为＿＿＿＿＿

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）

16．(本小题满分12分)已知函数

（1）求函数
的最小值和最小正周期；

（2）设
的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
,
，判断△ABC的形状，并求三角形ABC的面积.

17. （本小题12分）天猫电器城对TCL官方旗舰店某款4K超高清电视机在2014年11月11日的销售情况进行了统计，如图所示. 数据显示，该日TCL官方旗舰店在
小时销售了该款电视机2台.

TCL官方旗舰店在2014年11月11日的销售量是多少？

TCL官方旗舰店在2014年11月11日
小时销售了该款电视机多少台？

（3）TCL官方旗舰店对在
小时售出的该款电视机中随机取两台赠送礼物，求这两台电视机都是在
小时售出的概率？

18 .（本题满分14分）在等腰直角△BCP中，BC=PC=4,∠BCP=90°,A是边BP的中点，现沿CA把△ACP折起，使PB=4，如图1所示.

（1）在三棱锥P-ABC中，求证：直线PA⊥平面ABC；

（2）在三棱锥P-ABC中，M、N、F分别是PC、BC、AC的中点,Q为MN上任取一点，求证：直线FQ∥平面PAB；

19.（本题满分14分）已知数列
的各项均为正数，
表示数列
的前n项的和，且
.

（1）求
； （2）数列
的通项公式；

（3）设
，记数列
的前
项和
.若对
，
恒成立，求实数
的取值范围．

20.（本题满分14分））已知椭圆C的方程为：
，椭圆的左右焦点
与其短轴的端点构成等边三角形，且满足
（c为椭圆C的半焦距）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线

与椭圆C在
轴上方的一个交点为
，
是椭圆的右焦点，试探究以
为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.

21. (本小题满分14分)已知函数
.

（1）当
时，试判断函数
的单调性；

（2）对于任意的
，
恒成立，求
的取值范围；

清远市2014—2015学年度第一学期教学质量检测

高三文科数学答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

A

C

D

C

A

B

B

D



第二卷（非选择题，共100分）

填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）

（一）必做题(11～13题)

11．
12. －20 13.

（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

14. 30° 15. １

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）

16．解：(1)
＝
………1分

=
………3分

………4分
-1 ……5分

，故其最小正周期是
………6分

∵

…………7分

又∵0<2
<2π，∴
……8分

∴
，
………9分

∵B=
，∴A=
，∴△ABC 是直角三角形………10分

由正弦定理得到：
=
，∴
………11分

设三角形ABC的面积为S, ∴S=
………12分

17. 解：（1）设TCL官方旗舰店在2014年11月11日销售了该款4K超高清电视机n台，∵
………2分 ∴
………3分

（２）设TCL官方旗舰店在 小时销售了该款4K超高清电视机台数为m，其频率是Ｐ1，则Ｐ１＝
……５分

∴
…６分（说明：(1)、(2)题中将“设”改为“答”也得分）

∵TCL官方旗舰店在
小时销售了该款4K超高清电视机2台，

设为A、B；……７分

TCL官方旗舰店在 小时销售了该款4K超高清电视机
台，

设为甲、乙、丙、丁……８分

∴TCL官方旗舰店对在
小时售出的该款电视机中随机取两台赠送礼物的基本事件有：{A,B}、{A，甲}、{A，乙}、{A，丙}、{A、丁}、{B，甲}、{B，乙}、{B，丙}、{B、丁}、{甲，乙}、{甲，丙}、{甲、丁}、{乙，丙}、{乙、丁}、{丙，丁}共15个， ……10分

记“这两台电视机都是在
小时售出”为事件M，则事件M包含的基本事件有：{甲，乙}、{甲，丙}、{甲、丁}、{乙，丙}、{乙、丁}、{丙，丁}共6个，（也可列表）…11分

∴根据古典概率的概率计算公式，
……12分

18 .解：（1）在三棱锥P-ABC中，依题意可知：
…………2分

∵PA=AB=
,PB=4
,则
…………4分

又ＡＢ
，…………5分 ∴PA⊥平面ABC…………6分

（2）证法一：∵M、N、F分别是PC、BC、AC的中点,连FN、MF，得平面FMN，……7分

∴直线MN∥直线PB，…………8分 直线FN∥直线AB，…………9分

又∵直线MN∩直线FN=N， 直线PB∩直线AB=B，…………11分

∴平面PAB∥平面MNF,…………12分（或者证明两相交线与面平行）

又∵FQ
平面MNF， ∴直线FQ∥平面平面PAB …………14分

证法二：连CQ延长交PB于K，连AK，…………7分

∵M、N分别是PC、BC的中点,∴直线MN∥直线PB且MN=
PB，…………9分

∴Q为CK的中点，……10分 又∵F是AC的中点, 连AK，∴直线FQ∥直线AK，…12分

∵FQ
平面PAB，∴FQ∥平面PAB，…………14分

19.解析：（1）∵
，∴
且
，
，…………2分

（2）∵
，∴当
时，
…………3分

∴
…………4分

∴
…………5分

又
， ∴
，…………6分（没有
扣1分）

是以1为首项，以1为公差的等差数列， …………7分

故
…………8分

（3）由bn＝
＝
＝
－
，…………9分

Tn＝1－
＋
－
＋…＋
－
＝1－
＝
.…………10分

∵
≤k(n＋4)，

∴k≥
＝
. …………11分

∵n＋
＋5≥2
＋5＝9，当且仅当n＝
，即n＝2时等号成立，…………13分

∴
≤
，因此k≥
， 故实数k的取值范围为
……14分

20.解 (Ⅰ)由题意知：
………… 2分，又∵

………………………… 5分

所以椭圆的方程为：
………………………… 6分

(Ⅱ)由（1）可知，直线与椭圆的一个交点为
，
……8分

则以
为直径的圆方程是
，…… 10分

圆心为
，半径为
…… 11分

以椭圆长轴为直径的圆的方程是
，………… 12分

圆心是
，半径是
………… 13分

两圆心距为
，所以两圆内切. …………………………… 14分

21. 解：（1）当
时，设
∵
………..1分

∴当
时，
;当
时，
;………..3分

∴当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减 ………..5分

(2) ∵对于任意的
，
恒成立 ∴当
时，
…..7分

∵

（i）当
时，
, ∴
在
上单调递增

∴
,故
符合题意 ………..9分

(ii) 当
时，由
,得

∴当
时，
；当
时，

∴
在
上单调递减；在
上单调递增；

∴

∴
∴
………..11分

设

∵
∴
在
上单调递增；

∴
，即
，这与
矛盾,
不符合题意……….13分

综上，
的取值范围是
. ……….14分

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