清远市2015届高三上学期期末考试

数学（理）试题

第一卷（选择题 40分）

一、选择题（40分）

1、图中阴影部分表示的集合是（ ）

A、
　　 B、
　　 C、
　　 D、

2、已知a，b
R，i是虚数单位，若a＋bi与2－i互为共轭复数，则（a＋bi）2＝（　　）

　A、5－4i　　　　　　B、5＋4i　　　　　C、3－4i　　　　　　D、3＋4i　

3、已知
，且
，则a＝（　　）

　A、－1　　　　　　　B、2或－1　　　　C、2　　　　　　　　D、－2

4、阅读如图的程序框图，若输入m＝2，n＝3，则输出a＝（　　　）

　A、6　　　　　　　　B、4　　　　　　　C、3　　　　　　　　D、2

5、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）

　A、y＝x＋1　　　　　B、y＝－x2　　　　C、y＝
　　　　　　D、y＝x｜x｜

6、设平面
与平面
相交于直线m，直线a在平面
内，直线b在平面
内，且b⊥m，则“a⊥b”是“
⊥
”的（　　）

　A、充分不必要条件　　　　　　　　　　B、必要不充分条件

　C、充要条件　　　　　　　　　　　　　D、既不充分也不必要条件

7、已知实数x，y满足约束条件
，若
的最小值为3，则实数b＝（　　）

　A、
　　　　　　B、
　　　　　C、1　　　　D、

8、设定义在（0，＋
）上的函数
，则当实数a满足
时，函数y＝g（x）的零点个数为（　　　）

　A、1　　　　　　　B、2　　　　　C、3　　　　　D、4

第二卷（非选择题，共110分）

填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的横线上）

（一）必做题(9～13题)

9、图中阴影部分的面积等于＿＿＿＿＿＿

10、在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点P，使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是＿＿＿＿＿

11、某几何体的三视图如下图所示：

其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为＿＿＿＿＿

12、已知圆C：
，直线：L：x＋y＋a＝0（a＞0），圆心到直线L的距离等于
，则a的值为＿＿＿＿

13、如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当
时，该椭圆被称为“黄金椭圆”，其离心率为
，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线的离心率e等于＿＿＿＿＿

（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

14. (几何证明选讲选做题) 如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90o，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则∠ACB＝＿＿＿＿＿＿

15.(极坐标与参数方程选做题) 在极坐标系中，点A（2，
）与曲线
上的点的最短距离为＿＿＿＿＿

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）

16．(本小题满分12分)已知函数

（1）求函数
的最小值和最小正周期；

（2）设
的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
,
，判断△ABC的形状，并求三角形ABC的面积.

17. （本题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如右：

（1）估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；

（2）从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人,其中从身高在185～190 cm之间选取的人数记为Ｘ，求Ｘ的分布列和期望。

18 .（本题满分14分）在等腰直角△BCP中，BC=PC=4,∠BCP=90°,A是边BP的中点，现沿CA把△ACP折起，使PB=4，如图1所示。

（1）在三棱锥P-ABC中，求证：平面PAC⊥平面ABC;

（2）在图1中,过A作BC的平行线AE,AE=2,过E作AC的平行线与过C作BA的平行线交于D,连接PE、PD得到图2， 求直线PB与平面PCD所成角的大小.

19.（本题满分14分）已知双曲线
的焦点为（0,-2）和（0,2）,离心率为
，过双曲线
的上支上一点
作双曲线
的切线交两条渐近线分别于点
（A、B在
轴的上方）.

（1）求双曲线
的标准方程；

（2）探究
是否为定值，若是求出该定值，若不是定值说明理由.

20. (本小题满分14分）

设数列
的前
项和为
，且满足
,

．

（1）求
； （2）数列
的通项公式；

（3）设
,求证：
．

21.（本题满分14分）设函数
.

(1)若函数
在
处有极值，求函数
的最大值；

（2）①若
是正实数，求使得关于
的不等式
在
上恒成立的
取值范围；

②证明：不等式.

清远市2015届上学期期末教学质量检测高三理科数学答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

D

B

A

D

B

A

C





第二卷（非选择题，共110分）

填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的横线上）

（一）必做题(9～13题)

9 .1 10.
11. 210 12. .3 13. 

（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

14. (几何证明选讲选做题) 30° 15.(极坐标与参数方程选做题) 1

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）

16．解：(1)
＝
………1分

=
………2分

………3分
-1 ……4分

，故其最小正周期是
………5分

∵

…………7分

又∵0<2
<2π，∴
……8分

∴
，
………9分

∵B=
，∴A=
，∴△ABC 是直角三角形………10分

由正弦定理得到：
=
，∴
………11分

设三角形ABC的面积为S, ∴S=
………12分

17. 解：（1）由统计图知，

样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35（人）， ……2分

样本容量为70， ……3分

所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝
＝0.5．……4分

故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率Ｐ1＝0.5． ……5分

(2)由题意可知
=0，1，2 ……7分

, ……8分
……9分

……10分

的分布列为

X

0

1

2













……11分

的期望为
。 ……12分

18 .解：（1）在三棱锥P-ABC中，依题意可知：
…………1分

∵PA=AB=
,PB=4
,…………2分 则
…………3分

又ＡＢ
，则PA⊥平面ABC …………5分

∵
平面PAC ∴平面PAC⊥平面ABC. …………6分

（2）方法一：由（1）知
,又
，

∴
平面PAC …………7分 ∵AB∥CD ∴
平面PAC …………8分

过Ａ作
于Ｈ，则
…………9分

又∵
∴
…………10分

又AB∥CD，AB
平面
， ∴AB//平面
，

∴点A到平面
的距离等于点B到平面
的距离. …………11分

∵在Rt△PAC中，PA =2
，AC = 2
，PC = 4

∴PC边上的高
，此即为点A到平面PCD的距离 …………12分

设直线PB与平面PCD所成角为
，则
，…………13分

又
，所以
即直线PB与平面PCD所成角的大小为
； …………14分

方法二：由(1)知AB，AC，AP两两相互垂直，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，B(2
，0,0)，C(0，2
，0)，P(0,0，2
)……9分

（解法一）∵AB∥CD，
∴
，

又AC∥ED ∴四边形ACDE是直角梯形

∵AE = 2 ，AE∥BC，∴∠BAE = 135°，因此∠CAE = 45°.…………10分

所以D(-
，2
，0).

∴
，
…………11分

设
是平面PCD的一个法向量，则

∴
解得
取
得
…………12分

又
设
表示向量
与平面PCD的法向量
所成的角，

则
…………13分

∴
即直线PB与平面PCD所成角的大小为
. …………14分

（解法二）∵AB∥CD，∴
…………10分

∴
，…………11分

设
是平面PCD的一个法向量，则
即

∴
解得
取
得
…………12分

则
…………13分

∴
即直线PB与平面PCD所成角的大小为
. …………14分

19.解：（1）依题意可设双曲线的标准方程为
(
）………1分

∵c=2，………2分
………3分 ∴
………4分

∴双曲线的标准方程为
. ………5分

（2）
是定值2，理由如下：………6分

设直线AB：
（没有b>0，不得分这1分）………7分

由
得

………8分

解得
………9分

设

双曲线渐近线方程：
与
联立，………10分

得
，
…11分

，………12分
=3 ………13分

∴
=
=2 ………14分

（没有
导致情况多种的扣2分）

20. 证明：（1）∵
∴
……………2分

（2）∵
……①

∴当
时，
……② （没有n≥2扣1分）

∴①-②得,
……… ………5分

∵
,
∴
………7分（没有验证n=1成立扣1分）

是首项为2，公比为
的等比数列，
………8分

(3)∵
∴
………10分

（或者由公式计算得，公式对的1分，化简对得1分）

………12分

(说明：也可以
)

∴

………………14分

21.解：（1）由已知得：
， ………1分

又∵函数
在
处有极值 ∴
，即
……2分

∴

………3分

∴,当
时，
，
单调递增；

当
时，
，
单调递减；………4分（或者列表）

∴函数
的最大值为
………5分

（2）①由已知得：
………6分

(i)若
，则
时，

∴
在
上为减函数，

∴
在
上恒成立； ………7分

(ii)若
，则
时，

∴
在
上为增函数，

∴
，不能使
在
上恒成立；…8分

(iii)若
，则
时，
， 当
时，
，∴
在
上为增函数，

此时
，∴不能使
在
上恒成立；9分

综上所述，
的取值范围是
. ………10分

②由以上得：
, ………11分

取
得：
………12分

令
， ………13分

则
，
.

因此
. ∴
………14分

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