数学（理科）试卷

满分：150分 考试时间：120分钟

第Ⅰ卷（选择题 满分50分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

5．D

6．A

解析：由
得
即
，由
得
即
或

7．B

解析：

8．选D

解析：
表示阴影部分内的点P到点
的

连线斜率的
倍，由图可知连线斜率恒大于或等于0，故当P点的坐标

为
时的最大值为
，所以
得
，

9．D解析：作出
的图像如下所示，则
的零点即为函数
与
图像交点的横坐标，由图可知共有五个零点，不妨设为
且
，从图中可看出
与
关于直线
对称，
与
关于直线
对称，故
，当
时
，因此由
解得
，故

10．选B．

由
得
，显然
所以
，易知方程
的实根就是
的极值点。在除
外的正切函数的每一个周期内
的图像有且只有一个交点，在
上设相邻两个交点的坐标为
，因为
在
上单调递减，所以当
，即
，而
在每一个周期上都是单调递增，所以
，故
． 又
，故

，因此
，综上得
，

第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）

15． 因为

①若
且
,
故

即
又
则点在线段
或其反向延长线上，错误；

若
且
,同上可得
而
则点在线段
的延长线上，正确；

若
，
，同上可得

，当
时，
根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点在
外，正确；

若
，不防令
则
，很显然此时点在线段
的反向延长线上，不在
内，错误．

三、解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内）

17． 解：（1）记“申请甲这所大学”为事件A，则
，于是，恰有两位学生都申请甲这所大学的概率为
…………………………… 4分

(2)
的所有可能值为1、2、3，又

………………………… 7分

综上可得，
的分布列为

1

2

3



P









从而有
……………………… 10分

（3）当
时，

为偶函数；

当
时，

为奇函数；

当
时，

为偶函数。… 12分

∴事件D发生的概率是
………………………13分

18．解：

（1）

…………………………3分

（2）要证
，即证
，即证
在
上恒成立

设

在
是增函数

所以，得证…………………………7分

（3）要证
，即证

即证

因为
，则

另
，则证

由（2）知，显然成立…………………………12分

（2）由（Ⅰ）可知，

令
，得

与
的变化情况如下：















+



-



+




















所以，
的单调递增区间是
单调递减区间是

当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增

所以
在
上的最小值为

当
时，
在
上单调递增，

所以
在
上的最小值为

………………………………12分

20．（本小题满分13分）

（1）函数
的定义域为
．
．

当
时，由
得
；由
得
． …………2分

当
时，令
得
，
．　　

若
，由
得
；由
得
．　

若
，

当
，即
时，由
得
；由
得
或
；

②当
，即
时，恒有
；

③当
，即
时，由
得
；由
得
或
．

综上，当
时，函数的单调递减区间为
，单调递增区间为
；

当
时，函数的单调递减区间为
，
，单调递增区间为
；

当
时，函数的单调减区间是
；

当
时，函数的单调递减区间为
，
，单调递增区间为
．

…………………………6分

(2) 当
时，由（2）得
上单调递增，．

∴
，
．　　

由题意，
恒成立．

令
，且
在
上单调递增，

，因此
，而是正整数，故
，

∴
．　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………………13分

（2） 由（1）知
，∴
，

∴

………………………（13分）