（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.

设集合
，
，则
＝

（A）{1}

（B）{2}



（C）{0，1}

（D）{1，2}



设
，则

（A）

（B）



（C）

（D）



已知i是虚数单位，
，则“
”是“
”的

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件



（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件



为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象

（A）向右平移
个单位

（B）向左平移
个单位



（C）向右平移
个单位

（D）向左平移
个单位



函数
的图象大致为

（A）



（B）





（C）



（D）





设
，向量
，
，
，且
，
，则
＝

（A）

（B）



（C）

（D）



已知
若函数
只有一个零点，则
的

取值范围是

（A）

（B）



（C）

（D）




④ 存在经过点
的直线与函数
的图象不相交.

（A） ①②

（B）①③



（C） ②③

（D）②④



二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

在等差数列
中，已知
，则该数列前11项和
＝ .

如图，阴影区域是由函数
的一段图象与x轴围

成的封闭图形，则该阴影区域的面积是 .

在△
中，角
的对边分别为
.
，
，
，则
.

已知实数
满足
，则
的最大值是 .

若直线
上存在点
满足约束条件
则实数的取值范

围为 .

设集合
是实数集的子集，如果点
满足：对任意
，都存在
，使得
，那么称
为集合
的聚点.则在下列集合中

； ②
；

； ④ 整数集.

以0为聚点的集合有 .（请写出所有满足条件的集合的编号）

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

（本题满分13分）

已知函数
,
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期与单调增区间；

（Ⅱ）求函数
在
上的最大值与最小值.

（本题满分13分）

已知数列
满足：
，
.数列
的前项和为
，
.

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）设
，
.求数列
的前项和
.

（本题满分13分）

已知函数

.

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）若
，
，求函数
图象上任意一点处切线斜率
的取值范围.

（Ⅰ）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

（Ⅱ）为使两位游客在
处互相等待的时间不超过
分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）若
为
的极值点，求实数a的值；

（Ⅱ）若
在
上为增函数，求实数a的取值范围.

(本小题满分14分)

已知
，
或1，

，对于
，
表示U和V中对应位置的元素不同的个数．

（Ⅰ）令
，求所有满足
，且
的的个数；

（Ⅱ）令
，若
，求证：
；

（Ⅲ）给定
，
，若
，求所有
之和．


二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

9

88

10

2



11



12

—2



13



14

②③



三、解答题：本大题共6小题，共80分

15.解：


.

（Ⅰ）
的最小正周期为

令
，解得
，

所以函数
的单调增区间为
.

（Ⅱ）因为
，所以
，所以
，

于是
，所以
.

当且仅当
时
取最小值

当且仅当
，即
时最大值
.

16．解: （Ⅰ）由
得
，又
，所以数列
是以1为首项，
为公差的等差数列，于是
，
.

当
时，

当
时，
，

，

又
时
，所以
，
.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
，
，所以
.

所以
………(1)

17.解：（Ⅰ）函数的定义域为
.

当
时，
在
上恒成立，于是
在定义域内单调递增.

当
时，
得

当变化时，
变化情况如下











—



+







极小值





所以
的单调递增区间是
，单调递减区间是
.

综上，当
时，
单调递增区间是
，

当
时，
的单调递增区间是
，单调递减区间是
.

（Ⅱ）当
时，
，令
， 则
，故
为区间
上增函数，所以
，根据导数的几何意义可知
.

18．解: （Ⅰ）∵
,
∴
∴
,

∴

根据
得
,所以乙在缆车上的时间为
（min）.

设乙出发（
）分钟后,甲、乙距离为
,则

∴
时,即乙出发
分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.

（Ⅱ）由正弦定理
得
(m).

乙从出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达
.

设乙步行速度为
,则

.解得
.

∴为使两位游客在
处互相等待的时间不超过
分钟,乙步行的速度应控制在
范围内.

19. （Ⅰ）解：
1分因为x = 2为f (x)的极值点，所以
2分即
，解得：a = 0 3分又当a = 0时，
，当
时，

时，

从而x = 2为f (x)的极值点成立． 6分（Ⅱ）解：∵f (x)在区间[3，+∞)上为增函数，∴
在区间[3，+∞)上恒成立． 8分①当a = 0时，
在[3，+∞)上恒成立，所以f (x)在[3，+∞)上为增函数，故a = 0符合题意． 9分②当a > 0时，
在区间[3，+∞)上恒成立． 令
，其对称轴为
∵a > 0，∴
，从而g (x)≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可，由
，解得：
∵a > 0，∴
． 13分综上所述，a的取值范围为[0，
] 14分

20. 解：（Ⅰ）
； ………4分

（Ⅱ）证明：令
，

∵
或1，
或1；

当
，
时，

当
，
时，

当
，
时，

当
，
时，

故

∴

………9分

（Ⅲ）解：易知
中共有
个元素，分别记为

∵
的
共有
个，
的
共有
个．

∴

=

=

∴
=
． ……14分

法二：根据（Ⅰ）知使
的
共有
个

∴
=