2014—2015学年新野三高高三第四次阶段性考试数学试题（理）

命题人：李军 时间：2014.12.10

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.已知全集为R，集合A={
}，B={
}，A∩（CRB）=

A．[0，2) B．[0，2] C．(1，2) D．(1，2]

2．若复数满足
，则

A．
　 B．
　　 C．2　 D．

3．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ ）

4.已知
是两条不同的直线，是一个平面，且∥，则下列命题正确的是( )

（A）若∥，则∥ （B）若∥，则∥

（C）若
，则
（D）若
，则

5.设
为公差不为零的等差数列
的前项和，若
，则
（ ）

A.15 B.17 C.19 D.21

6. 平面向量与
的夹角为60°，
则
（ ）

A．
B.
C.4 D.12

7.函数
在一个周期内的图象如图所示， A
，B在y轴上，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，
在x轴上的投影为，则ω，φ的值为(　　)

A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝

C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝

8．一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以
平面为投影面的正视图的面积为

A． B．
C． D．

9.函数
的部分图象为

10.三棱锥S—ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：

①异面直线SB与AC所成的角为90°.

②直线SB⊥平面ABC；

③平面SBC⊥平面SAC；

④点C到平面SAB的距离是a.

其中正确的个数是（ ）．

A.1 B.2 C.3 D.4

11已知H是球O的直径AB上一点，AH:HB =1:2，AB⊥平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为

A．
B．4 C．
D．

12.设
，若函数
在区间
上有三个零点，则实数a的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13.已知在正方体
中，点E是棱
的中点，则

直线AE与平面
所成角的正切值是 .

14．己知x>0，y>0，且
，则x+y的最大值是______.

15. 设
满足约束条件
，则
所在平面区域的

面积为___________.

16已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分10分）

已知数列
的前项和为
，且
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前项和
．

18（本小题满分12分）

已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S＝
accosB

（1）若c＝2a，求角A，B，C的大小；

（2)若a＝2，且
，求边c的取值范围．

19（本小题满分12分）

在直三棱柱ABC -A1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在棱AB上．

(1) 若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；

（2）当
时，求二面角
的余弦值．

20（本小题满分12分）

己知向量
，记
.

(I)若
，求
的值；

( II)在锐角ABC申，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(
,

求函数
的取值范围．

21（本小题满分12分）

如图，设四棱锥
的底面为菱形，且∠
，
，
。

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所夹角的余弦值。

22. （本小题满分12分）

已知函数
.

（I）求函数
的最大值；

（Ⅱ）设
证明
有最大值
，且-2＜t＜-1.

第四次阶段性考试数学（理）参考答案

一、选择题

1.答案A 2．B 3．答案A 4. 答案D 5.答案A

6. 【答案】B

【ZXXK解析】因为平面向量与
的夹角为60°，
所以
，所以

。

7. 答案: A

8．【答案】A

【ZXXK解析】设O（0，0，0），A（0，2，0），B（0，2，2），C（0，0，1），易知该四面体中以
平面为投影面的正视图为直角梯形OABC,其中OA=1，AB=2，OA=2，所以S=3.

9.答案A

10.【解析】　由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离a，④正确． 【答案】D

11 答案C 12. 答案D

二填空题

13.答案3 14．答案4 15.【答案】

16【解析】　若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a＞0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值；若－1＜a＜0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＞0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x＝a处取得极大值；若a＜－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，－1)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，所以a∈(－1,0)． 【答案】　(－1,0)

三解答题

17（10分）

解：（Ⅰ）当
时，由
得：
． 当
时，
　① ；

　② 上面两式相减，得：
．

所以数列
是以首项为
，公比为
的等比数列． 得：
．……5分

（Ⅱ）

．　
． ……8分

(10分)

18.（12分）解:由三角形面积公式及已知得

化简得
即
又
故
.………………………3分

（1）由余弦定理得,
∴

∴
,知
………………………………………6分

（2）由正弦定理得
即

由
得

又由
知
故
……………………………………12分

19（本小题满分12分）

解: (1) 证明：连结BC1，交B1C于E，连接DE．

因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，

所以 侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，所以 DE// AC1．

因为 DE平面B1CD， AC1平面B1CD，所以 AC1∥平面B1CD．

……… 6分

（2）由（1）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．

则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A1 (0, 4, 4)，B1 (3, 0, 4)．设D (a, b, 0)（
，
），因为 点D在线段AB上，且
，即
．

所以
，
，
，
,
．

平面BCD的法向量为
． 设平面B1 CD的法向量为
，

由
，
， 得
，

所以
，
，
.所以
．

所以二面角
的余弦值为
．……… 12分

20. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
=
=

因为
，所以
…………………………………4分

…6分

（Ⅱ）因为

由正弦定理得
……………………7分

所以
所以

因为
，所以
，且

所以
………8分 所以
……9分

所以
……………………10分

又因为
=

所以

……11分

故函数
的取值范围是

21. （本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：连接
，取
的中点，连接
、
，
，
，
，
，又四棱锥
的底面为菱形,且∠
，
是是等边三角形，

，又
，
，
，
面

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，分别以
为轴、轴、轴的正半轴建立建立空间直角坐标系。则面
的一个法向量

，
，
，
，
，设面
的法向量
，则

，

，令
，则
，由
，设平面
与平面
所夹角的大小为
，则

22题。（本小题满分12分）

（Ⅰ）f((x)＝－xex．

当x∈(－∞，0)时，f((x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(0，＋∞)时，f((x)＜0，f(x)单调递减．

所以f(x)的最大值为f(0)＝0． …4分

（Ⅱ）g(x)＝，g((x)＝．

设h(x)＝－(x2－x＋1)ex＋1，则h((x)＝－x(x＋1)ex．

当x∈(－∞，－1)时，h((x)＜0，h(x)单调递减；

当x∈(－1，0)时，h((x)＞0，h(x)单调递增；

当x∈(0，＋∞)时，h((x)＜0，h(x)单调递减． …7分

又h(－2)＝1－＞0，h(－1)＝1－＜0，h(0)＝0，

所以h(x)在(－2，－1)有一零点t．

当x∈(－∞，t)时，g((x)＞0，g(x)单调递增；

当x∈(t，0)时，g((x)＜0，g(x)单调递减． …10分

由（Ⅰ）知，当x∈(－∞，0)时，g(x)＞0；当x∈(0，＋∞)时，g(x)＜0．

因此g(x)有最大值g(t)，且－2＜t＜－1． …12