第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2．在复平面内，复数
，则复数
对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知向量
，
，若
与
垂直，则
（ ）

A．
B．
C．2 D．4

4．已知
为等差数列，其前项和为
，若
，
，则公差
等于

（ ）

A． B．
C． D．

5．设f(x)＝，则f(f())＝ (　 　)

A．　　　　　　 B． C．－ D．

6．已知
，则
的值是 （ ）

A．
B．
C．
D．

7．—个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A． 48

B．

C．

D． 80

8．如图是一个算法的程序框图，当输入的值为
时，则其输出的结果是（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

9. 若函数f(x)＝
(a＞0且a≠1)在
上既是奇函数又是增函数，则
的图象是（ ）

10．函数
的图象恒过定点A，且点A在直线
上
，则
的最小值为（ ）

A．12 B．10 C．8 D．14

11．已知抛物线
的焦点到其准线的距离是
，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且
，则
的面积为（ ）

A．32 B．16 C．8 D．4

12．设
与
是定义在同一区间
上的两个函数，若对任意的
，都有
，则称
和
在
上是“密切函数”，
称为“密切区间”，设
与
在
上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在
中，
，
，
，则
．

14. 若
是直角三角形
的三边的长（为斜边），则圆
被直线
所截得的弦长为 ．

15．设
是定义在R上的奇函数，当
时，
，且
，则不等式
的解集为__________．

16. 已知函数
时，则下列结论正确的是 .

①
，等式
恒成立；②
，使得方程
有两个不等实数根

③
，若
，则一定有

④
，使得函数
在上有三个零点

18.（本小题满分12分）

为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛． 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛．

（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；

（Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率．

19．(本小题满分12分)

如图，在三棱柱
中，侧棱
底面
,

为
的中点,
.

（Ⅰ） 求证：
平面
；

（Ⅱ） 若
，求三棱锥
的体积.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的中心为坐标原点
，一个长轴端点为
，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，若直线
与轴交于点
，与椭圆
交于不同的两点
，且
。

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求实数的取值范围。

21．（本小题满分12分）

设二次函数
的图像过原点，
，

的导函数为
，且
，

(Ⅰ)求函数
，
的解析式；

(Ⅱ)求
的极小值；

（Ⅲ）是否存在实常数
和，使得
和
若存在，求出
和的值；若不存在，说明理由．

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. (本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.

如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交B,C两点，且AB=
AC,作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D,己知圆E的半径为2，
=30.

(1)求AF的长.

⑵求证：AD=3ED.

23. (本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程选讲.

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
（a为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

(1) 求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程.

(2) 设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标.

24. (本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲.

设函数
.

(1)求证：当
时，不等式lnf(x)>1成立.

⑵关于x的不等式
在R上恒成立，求实数a的最大值.



三、解答题：

17. 【答案】

【解析】（I）
．

周期
；……………………3分

令
，得
．

所以，单调递增区间为
． ……………………6分

（II）解法1：当
，
，由

的图象可知，当
时，有最大值
；……………………9分

当
时，有最小值
．

所以，值域
． ……………………12分

18. 【答案】

【解析】基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，

丙甲乙，丙乙甲”． ………………………………………2分

（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件，事件包含的基本事件

有“甲乙丙，乙甲丙”， ………………………………4分

则
，所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为
．……………………7分

（Ⅱ）设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件，事件包含的基本事件

有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，………………………………………10分

则
，所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为
．……………………12分

19. 【答案】

证明:（1）连接
,设
与
相交于点
,连接
. …………1分

∵ 四边形
是平行四边形,∴点
为
的中点.

∵为
的中点，∴
为△
的中位线,

∴
. …………4分

∵
平面
,
平面
,

∴
平面
. ………… 6分

解:（2）∵三棱柱
，∴侧棱
，

又∵
底面
，∴侧棱
，

故
为三棱锥
的高，
， …………8分

…………10分

…………12分

20. 【答案】

（1）∵一个长轴端点为
，所以
， ……………………　1分

且焦点在y轴上，

因为短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，所以
，

又因为
，所以
， ……………………　3分

所以椭圆方程为
. …………………… 5分

（2）(1)当直线
斜率不存在时，不符题意，斜率为0时显然也不符题意；

设
， ……………………　7分

由
，

∴
，

设
，
，
，

所以
，
， ……………………　9分

所以
，所以
，……………………　11分

消去
得
，

又
，∴
，

∴
， ∴
<0， ∴-1

……………………　12分

21. 【答案】

解：(Ⅰ)由已知得
，

则
，从而
，∴

，
．

由

得
，解得

．……………………4分

(Ⅱ)
，

求导数得
．……………………6分

在（0,1）单调递减，在（1,+）单调递增，从而
的极小值为
……………8分

（Ⅲ）因
与
有一个公共点（1，1），而函数
在点（1，1）处的切线方程为
．下面验证
都成立即可． ……………………9分

由
得
，知
恒成立．

设
，即
，…………………10分

对
求导得
，
在（0，1）上单调递增，在
上单调递减，所以
的最大值为
，所以
恒成立．故存在这样的实常数
和，且
． ……………………12分

22解析 (1) 延长
交圆于点
，连结
，则
，

又
，
，所以
，

又
，可知
.

所以根据切割线定理
，即
. (5分)

(2) 过作
于
，则
与
相似，

从而有
，因此
. (10分)

23.解(1) 对于曲线
有

，即
的方程为：
；

对于曲线
有

，所以
的方程为
. (5分)

(2) 显然椭圆
与直线
无公共点，椭圆上点
到直线
的距离为：

，

当
时，
取最小值为
，此时点的坐标为
. (10分)

24解 (1) 证明：由

得函数
的最小值为3，从而
，所以
成立. (5分)

(2) 由绝对值的性质得
，

所以
最小值为
，从而
，解得
，因此的最大值为
.

(10分)