2014-2015学年度湖北省部分高中12月调考

高三数学试卷（文科）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知全集
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、复数
是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3、已知集合
只有一个真子集，则实数
的值为（ ）

A．0 B．4 C．0或4 D．0或-4

4、设函数
是定义在R上的奇函数，对任意
都有
，当
时，
，则
的值为（ ）

A．-1 B．1 C．
D．

5、设
是两个非零向量，则“
的夹角为钝角”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6、已知某几何体的三视图如上图所示（单位：
），则该几何体的表面积是（ ）

A．
B．

C．
D．

7、执行如上图所示的程序框图，若
，则输出的结果为（ ）

A．1 B．
C．2 D．

8、已知
，在此范围内任取数对
，能使函数
，有三个不同零点的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

9、已知
成等差数列，则直线
被曲线
截得的弦长的最小值为（ ）

A．
B．1 C．
D．2

10、定义：如果函数
在
上存在
，满足
，
，则称函数
在
上的“双中值函数”，已知函数
是
上的“双中值函数”，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.

11、已知平面向量
满足
，且
，则向量
与
的夹角为

12、已知函数
和
的图象都过点A，且点A在直线
上，则
的最小值为

13、若点
是抛物线
的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则
的值

是

14、已知
满足
，则
的取值范围是

15、已知
分别是双曲线
的左右焦点，
为双曲线左支上任意一点，若
的最小值为
，则双曲线的离心率的范围为

16、定义映射
，其中
，
，已知对所有的有序正整数对
满足条件：①
；②若
；③
，则
；

17、给出下列命题：

①函数
为偶函数；②函数
是周期函数；③函数
的零点有2个；

④函数
在
上恰有两个零点
，且
。

其中真命题的序号为

三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

18、（本小题满分12分）

设函数
，已知当
取得最大值为
。

（1）求
的值；

（2）设
，求核黄素
在
上的最小值。

19、（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
是直角梯形，

平面
。

（1）求证：
平面
；

（2）若点
满足
，求
与平面
所成角的正切值。

20、（本小题满分13分）

已知数列
的前n项和
，数列
满足
且

（1）求
；

（2）设
为数列
的前n项和，求
，并求满足
时，
的最大值。

21、（本小题满分14分）

已知椭圆
的离心率为
，
是椭圆
的长轴的两个端点（
位于
右侧），
是椭圆在
轴正半轴上的顶点，点
是椭圆
的右焦点，点
是
轴上位于
右侧的一点，且满足
。

（1）求椭圆
的方程以及点
的坐标；

（2）是否存在经过点
且斜率为
的直线
与椭圆
交于不同的两点
和
，使得向量
与
共线？如果存在，求出直线
的方程，如果不存在，说明理由。

22、（本小题满分13分）

已知函数
为常数）

（1）若
的图象在
处的切线方程为
，求函数
的解析式；

（2）在（1）的条件下，求函数
的图象与
的图象交点的个数；

（3）当
时，
恒成立，求
的取值范围。

2014—2015学年度湖北省部分高中12月调考

高三数学（文科）参考答案

19、解答：（Ⅰ）如图，在直角梯形ABCD中，过点C作
于点F，

则四边形ADCF为矩形，所以AF＝DC＝2.

又AB＝4，所以BF＝2。在Rt
中，因为
，

所以
，
，

所以
，则
，

所以
，

所以
………………………………（4分）

又
，所以

因为
，所以
………………………（6分）

（Ⅱ）如图，在平面MAC中，过点E作
于G，连接DG，

则
为DE与平面ABCD所成角，……………………………（7分）

因为
，所以
，

在三角形
中，
，

由余弦定理求得
，…………………………………………（10分）

在Rt
中，
，

故DE与平面ABCD所成角的正切值为
。………………………（12分）

20、

　　　　　　　　　　　　　　　　…………………………（2分）

…………………………（4分）

……………………………………………（6分）

　　　　　　　　　　　　　　　…………………………………（7分）

　　　　　　　　　　　　　　　…………………………………（8分）

　　　　　　　　　…………………………………………………（10分）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………（11分）

　　　　　　　　　　………………………………………………（13分）

. ………………………（8分）

令
，

易得
，

，

由题知
，

要使向量
共线，则
，即
，但不满足
，

故不存在符合题意的直线
……………………………………………（14分）

22、解：（Ⅰ）由题意得
，由题知

，

………………………………………………（4分）

（Ⅱ）由
，可得
，

，

则由题意函数
的图象与
的图象交点的个数等价于方程
实根的个数，即
根的个数。

等价于
的图象与直线
的交点个数，…………（6分）

，则
的变化情况如下表：

则函数
的极小值为
，极大值为
……………………（8分）

根据上面的讨论，作出
的

大致图象与直线
的位置如图，由图知，

当
时，函数
的图象与

的图象有三个不同交点；

当
时，函数
的图象与

的图象有两个不同交点；

当
时，函数
的图象与

的图象有1个交点。……………………………………（10分）

（Ⅲ）当
时，

恒成立，等价于
，

即
上恒成立，

令
，只需
。

，

令
，故当
时，
，

单调递增；当
时，
单调递增。

，
，

因此b的范围是
.