胶州一中2015届高三上学期12月第二次质量检测

数学（理）试题

一、选择题

1．若集合
，
，则

A．
B．
C．
D．{
}

2. 已知直线
⊥平面
，直线

平面
，下面有三个命题：

①
∥


⊥
；②
⊥


∥
；③
∥


⊥
； 则真命题的个数为( )

A．
B．
C．
　D．

3. 已知等差数列
的公差为
，且
，若
，则
为（ ）

A．
B.
C．
D.

4．如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图

都是边长为
的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）

A．
B.
C．
D.

5.若直线
与圆
相切，则
的值为（ ）

A.1或﹣1 B.2或﹣2 C.1 D.﹣1

6．已知向量
夹角为
，且
，
，若
，则实数
的值是( )

A.9 B.﹣9 C.10 D.﹣10

7．将奇函数
的图象向左平移
个单位得到的图象关于原点对称，则
的值可以为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.若函数
在区间
内单调递增，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 直线
与抛物线
交于
两点，若
，则弦
的中点到直线
的距离为( )

A.
B.
C.2 D.4

10. 设
，若函数
在区间
上有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题

11. 已知焦点在
轴上的双曲线的渐近线为
，则次双曲线的离心率为_______

12. 设变量
满足约束条件：
,则目标函数
的最小值为

13．在
中，已知
，当
时，
的面积为_____

14．已知正项等比数列
满足
，若存在两项
使得
，则
的最小值为___________

15.定义在R上的奇函数
满足
，当
时，
，则以下结论中正确的是______

①
图像关于点
对称；②
是以2为周期的周期函数

③当
时
④
在
内单调递增

三、解答题

16. 如图5，在平面四边形
中，
，
，
.

（1） 求
的值；

（2） 若
，
，求
的长.

17.如图，在四棱柱
中，侧面
⊥底面
，
，底面
为直角梯形，其中
∥
,
，
，
为
中点. （1）求证：
∥平面
；（2）求锐二面角
的余弦值．

18.小王大学毕业后，决定利用所学专业知识进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产
万件，需另投入流动成本
万元。在年产量不足8万件时，
（万元）；在年产量不小于8万件时，
（万元），每件产品售价为5元，通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完。

（1）写出年利润
（万元）关于年产量
万件的函数解析式（注：年利润=年销售收入－固定成本－流动成本）

（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

19.已知正项数列
的前n项和为
，
,且

(I)证明数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；

(Ⅱ)设
,数列
的前项n和为
,求证：

20.已知函数
其中e是自然数的底数，
.

（I）当
时，解不等式
；

（II）若
上是单调增函数，求
的取值范围；

（III）当
，求使方程
上有解的所有整数
的值.

21.设椭圆C：
的一个顶点与抛物线：
的焦点重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率
，过椭圆右焦点F2的直线
与椭圆C交于M、N两点．

(I)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)是否存在直线
，使得
，若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求
的值

胶州一中高三阶段性检测数学答案（理）

1-5:BCBAD 6-10:BDBAB

11.
12.1 13.
14.4 15.①②③

16. 解：（1）在
中，则余弦定理，得
.

由题设知，
.…………4分

（2）设
，则

因为
，
，所以

.

于是

.…………10分

在
中，由正弦定理，
，

故
…………12分

17.(1)证明：如图，连接
，则四边形
为正方形，所以
，且
，………2分

故四边形
为平行四边形，所以
．

又
平面
，
平面
，

所以
平面
. ……………5分

(2)因为
为
的中点，所以
，又侧面
⊥底面
，交线为
，故
⊥底面
。 …………6分

以
为原点，所
在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的坐标系， 则

，

，

设
为平面
的一个法向量，由
，得
，令
，则
．

又设
为平面
的一个法向量，由
，得
，令
，则
， …………10分

则
，

故所求锐二面角
的余弦值为
． …………12分

18.解：（1）因为每件商品售价为5元，则
万件商品销售收入为
万元，依题意得

当
时，
…………2分

当
时，
…………4分

所以
…………6分

（2）当
时，
此时，

当
时
…………8分

当
时，

当且仅当
即
时等号成立，即当
时
……10分

综上，当年产量为10万件时小王在这一商品的生产中所获利润最大为15万元…12分

19.解：（1）由
得

又
，于是

所以数列
是首项为
，公差为1的等差数列

，即
…………3分

当
时，

当
时
也符合上式，因此
…………6分

（2）
…………8分

所以
…………10分

因为
，所以
…………12分

20解：（1）因为
，所以
即

又因为
，所以不等式可化为

所以不等式的解集为
…………3分

（2）

①当
时，
在
上恒成立，当且仅当
时取等号，

故
符合题意…………5分

②当
时，令

所以
有两个不等的实根
，不妨设

因此
既有极大值也有极小值

若
因为
，所以
在
内有极值点

故
在
上不单调………………7分

若
，
开口向下且
可知

若
在
上单调递增，则

即
，所以
，

综上可知，实数
的取值范围为
………………9分

（3）当
时，方程即为
，由于
，所以
不是方程的解

所以原方程等价于
，令

因为
对任意
恒成立

所以
在
内是单调递增函数…………11分

又

所以方程
有且只有两个实根，且分别在区间
上

所以整数
的所有取值为
…………13分

21.解：（1）椭圆的顶点为
即

解得
，故椭圆方程为
……2分

（2）由题知直线
比与椭圆相交

当直线
斜率不存在时，经检验不合题意……3分

设直线
为

由

……5分

解得
，故直线
的方程为
……9分

（3）设

当
不存在斜率时，可求得
，

由（2）可得：

当
存在斜率时