胶州一中2015届高三上学期12月第二次质量检测

数学（文）试题

一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分．）

1.若
，
，则下列不等式成立的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

2.

下列说法一定正确的是（ ）

A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况

B．一枚硬币掷一次得到正面的概率是
，那么掷两次一定会出现一次正面的情况

C．如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元

D．随机事件发生的概率与试验次数无关

3.

已知向量
，
，若m
+n
与
共线，则
等于( )

(A)
(B)
(C)
(D)

4.已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列
的前n项和为Tn，则T2014的值为（　　）

A．



B．



C．



D．





5.

下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：

月份x

1

2

3

4



用水量y

4.5

4

3

2.5



由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程

是＝－0.7x＋a，则a等于(　　)

A．10.5　　　B．5.15　　　C．5.2　　　 D．5.25

6.已知函数
，若
是从
三个数中任取的一个数，
是从
三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

7.在
中,
,则此三角形解的情况是 （ ）

A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解

8.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（　　）

A．



B．



C．



D．





9.

已知
是自然对数的底数，函数
的零点为
，函数
的零点为
，则下列不等式成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

10.已知函数
对定义域
内的任意
都有
=
,且当
时其导函数
满足
若
则

A.
B.

C.
D.

二、填空题（本大题有5小题，每小题5分，共25分．）

11.已知
为原点，椭圆
上一点
到左焦点
的距离为4，
是
的中点．则
= .

12.已知圆
与圆
交于
两点，则
所在直线的方程为

13.已知
是定义在
上的奇函数，且
当
时，

则
_________.

14.已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为___________。



15.已知命题：

①若
，则
；②“设
，若
，则
或
”是一个真命题；③在
中，
的充要条件是
；④“
为真命题”是“
为假命题”的必要不充分条件。其中正确命题的序号是

三、解答题(共75分)

16．（本小题满分12分）

甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：

甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计）即为中奖．

乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．

问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？

17．（本小题满分12分）

已知函数
其中向量


若
的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于

（1）求
的取值范围；

（2）在
中，
分别是角
的对边，
当
最大时，
求
的面积最大值.

18．（本小题满分12分）

已知递增等比数列
的前n项和为
，
，且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
，且
的前
项和
．求证：

19．（本小题满分12分）

.如图所示，矩形
中，
，
．
，
分别在线段
和
上，
∥
，将矩形
沿
折起．记折起后的矩形为
，且平面
平面
．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）若
，求证：
；

（Ⅲ）求四面体
体积的最大值．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆C的中心在坐标原点焦点在
轴上,左、右焦点分别为F1、F2,且
在椭圆C上.

(I)求椭圆C的方程;

(II)过F1的直线
与椭圆C相交于A,B两点,且
的面积为
,求直线
的方程.

21．（本小题满分14分）

已知函数
,其中
是自然对数的底数,
.

(1)若
,求曲线
在点
处的切线方程;

(2)若
,求
的单调区间;

(3)若
,函数
的图象与函数
的图象有3个不同的交点,求实数
的取值范围.

高三第二次阶段检测（文数）答案

一、选择题

1.B 2.D 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B 9.C 10.C

二、填空题

11.3 12.2x+y=0 13.0 14.
15.①②③④

三、解答题：

16.解：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积π?R2，

阴影部分的面积为
，

则在甲商场中奖的概率为：
；

如果顾客去乙商场，记3个白球为a1，a2，a3，3个红球为b1，b2，b3，

记（x，y）为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：

（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3）

（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），

（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共15种，

摸到的是2个红球有（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共3种，

则在乙商场中奖的概率为：P2=
，

又P1＜P2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大．

17.解（1）由题意知

=

解得

（2）由（1）知
即

又∵
∴
∴
得

由余弦定理得
即

∴

18解析：（1）设公比为q，由题意：q>1,
，则
，
，∵
，∴
， 2分

则
解得：
或
（舍去），

∴
4分

（2）
6分

9分

又∵
在
上是单调递增的

∴

∴
12分

19.（Ⅰ）证明：因为四边形
，
都是矩形， 所以
∥
∥
，
．

所以 四边形
是平行四边形，……………2分

所以
∥
， ………………3分

因为
平面
，所以
∥平面
．4分

（Ⅱ）证明：连接
，设
．

因为平面
平面
，且
， 所以
平面
…5分

所以
．

又
， 所以四边形
为正方形，所以
．

所以
平面
， 所以
． …………8分

（Ⅲ）解：设
，则
，其中
．由（Ⅰ）得
平面
，

所以四面体
的体积为
．

所以
．

当且仅当
，即
时，四面体
的体积最大． …………12分

20.【答案】

21.解:(1)因为
,

所以

,

所以曲线
在点
处的切线斜率为
又因为
,

所以所求切线方程为
,即

(2)

,

①若
,当
或
时,
;

当

时,
.

所以
的单调递减区间为
,
; 单调递增区间为

②若
,

,所以
的单调递减区间为
.

③若
,当
或
时,
;

当
时,
.

所以
的单调递减区间为
,
;

单调递增区间为

(3)由(2)知,
在
上单调递减,在
单调递增,在
上单调递减,

所以
在
处取得极小值
,在
处取得极大值
.

由
,得
.

当
或
时,
;当

时,
.

所以
在
上单调递增,在
单调递减,在
上单调递增.

故
在
处取得极大值
,在
处取得极小值
.

因为函数
与函数
的图象有3个不同的交点,

所以
,即
. 所以